Name: Explicações matemática e a função logarítmica
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"Na matemática," óbvio "é a palavra mais perigosa. " Eric Temple Bell (1883-1960), matemático escocês.

Este famoso matemático, inventor dos "polinómios de Bell", afirmava que a essência da disciplina de matemática não pode ser científica se os seus pressupostos são refutáveis e é possível levantar dúvida sobre eles.

O objeto da matemática, no cálculo aritmético e algébrico, é também disponibilizar uma infinidade de números complexos e quantidades desconhecidas. Isto permite conhecer o valor de muitas variáveis desconhecidas e resolver equações e inequações, pintar um cenário de sinais e demonstrar as alterações de uma função, seja função linear, função exponencial, função logarítmica, a partir do derivado.

Todos estes conceitos importantes destas ciências são conhecidos durante as aulas de matemática do ensino básico ao ensino secundário, onde os alunos aprendem nomes como Arquimedes, Euclides, Pitágoras ou Tales, por exemplo. Mas depois de consolidar os cálculos mais básicos, os alunos que continuam a sua formação na área da matemática ganham conhecimento de funções mais avançadas.

Depois de mais de 1500 anos de evolução científica, com o surgimento da astronomia na Europa entre os séculos XVI e XVII, os cálculos tornaram-se mais complexos para que pudessem ser feitos sem erros.

Alguns matemáticos inventaram estratagemas e teoremas para simplificar esta lógica, como é o caso de John Napier (1550-1617) e a sua função logarítmica, representada numa tabela de logaritmos. Esta descoberta permitiu podermos calcular a área sob uma hipérbole, com o estudo da função logarítmica e da função exponencial.

Precisamente pela sua importância, e por ser um dos conceitos que leva a que os alunos mais recorram a explicações matematica, elaboramos este artigo sobre a função logarítmica decimal, denotada y = log (x) onde explicamos o que é este conceito importante da matemática.

desenhar com uma regua — Esta função faz parte do plano de estudos e da formação dos alunos do ensino básico e secundário ao ensino superior e, como tal, também está incluída na preparação das explicações. | Fonte: Pexels.com

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Explicações de matemática e a história da função logarítmica

Os registos são uma pedra angular da história da matemática. Surgiram no início do século XVII, com a criação das tabelas logarítmicas que tinham o objetivo de facilitar os cálculos astronómicos. Se eu quisesse calcular log (34), qual seria o valor? Os génios matemáticos do século XVII vieram facilitar o processo.

Aliás, foi de facto a complexidade dos cálculos que levou os astrónomos, marinheiros e matemáticos a procurar ferramentas para facilitar o cálculo de produtos e quocientes. Neste altura, as ciências da matemática já conheciam as tabelas de trigonometria, que permitiam encontrar o produto de dois inteiros A e B graças ao cosseno.

Mas a introdução de ângulos no cálculo provou-se rapidamente impraticável. Por isso, Jost Bürgi e John Napier criaram uma forma mais simples, uma leitura com tabela de correspondência entre suites geométricas com base de $108$ e razão 1.000 1 e sequências aritméticas com valores maiores que 0 e razão 10.

Numa época em que não existiam calculadores e todos os cálculos eram feitos à mão, era difícil multiplicar os produtos por quocientes.

Calcular a área de uma hipérbole e a tangente de cada ponto numa curva exponencial para qualquer x positivo era acessível, trabalhando com um número real e lendo os senos e cossenos das tabelas trigonométricas. Mas, por outro lado, conhecer todos os valores de uma função, incluindo todos os números decimais, exigia cálculos infinitos.

Para facilitar este processo, Henry Briggs, juntamente com John Napier, desenvolveu em 1615 o primeiro logaritmo decimal. Seguiram-se as tabelas trigonométricas e uma tabela de antilogaritmos. Estas tabelas numéricas, com até quatorze decimais, serviriam como uma ferramenta básica para estudar a função logarítmica durante três séculos, até serem destronadas pela invenção da calculadora científica no final dos anos 20 do século passado.

Nas explicações e aulas de matemática, a análise da função logarítmica decimal perdeu algum encanto, em parte pelo uso das calculadoras gráficas e das calculadoras científicas que estão sempre presentes nas aulas e que permitem simplificar drasticamente os cálculos.

mexer numa calculadora — A calculadora facilitou a vida do aluno nas aulas de matemática mas deve recorrer à ajuda de um explicador profissional com experiência para se preparar para os exames do secundário nas explicações. | Fonte: Pexels.com

Antes do uso da calculadora nas aulas, quase quer era necessário um livro para calcular as funções decimais dos logaritmos. No entanto, continua a ser muito útil na física no que diz respeito a tratar valores entre 10 ^-10 e 10 ¹⁰ . Os alunos de matemática do ensino secundário usam este tipo de exercício para cálculos de decibéis em acústica, ou em química para a avaliação de testes de PH ou para controlar uma solução aquosa.

De qualquer das formas, as funções logarítmicas são conteúdos importantes, cujo conhecimento pode fazer a diferença para os alunos que querem continuar a sua formação no ensino superior. Deve tentar entender o seu raciocínio e lógica, mesmo que seja só para que o professor de matemática veja que as consegue resolver nas aulas.

Se necessitar de ajuda, pode recorrer a explicações ou aulas particulares de matemática, onde o professor ou explicador exemplifica a resolução e o deixa mais confiante no caso de a calculadora avariar no exame.

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Aprender logaritmo decimal e teorema com explicador de matemática

Para desenhar uma representação gráfica de números variando ao longo de várias ordens de magnitude, como ao longo de um intervalo de 1 a 1000, por exemplo, é impossível usar a escala comum com graduações proporcionais aos números. Imagine as páginas monumentais de cálculos que teria que escrever para encontrar cada ponto decimal para cada ponto da função log (x)...

Numa ortonormalidade, se um milímetro representa o valor 1, então um centímetro representa o valor 10. Desta forma, íamos precisar precisaríamos de uma folha de metro para representar o valor de 1000. Por outro lado, para dimensões muito pequenas, seria necessário uma folha de quase dez quilômetros para representar valores de 10 ^-10 a 10 ^-3 , com a mesma escala.

É precisamente por este motivo, que em matemática se usa a escala logarítmica, que permite multiplicar um valor pelo mesmo fator (10 ^-10 por exemplo) passando de uma graduação para a seguinte, onde as distâncias transportadas no eixo são proporcionais aos logaritmos dos números representados.

Saiba a importância da geometria na matemática e porque é incluída nas explicações.

A função do logaritmo decimal é escrita da seguinte forma: log (x) = ln (x) / ln (10). As suas propriedades algébricas são semelhantes às do logaritmo natural, denotado por "ln".

Para todos os x > 0 e para todos os y ∈ R, log (x) = y <=> x = 10 ^y ou log (10 ^y ) = y.

Diz-se que o número real x é o logaritmo base de a, logaritmo de a, log ₁₀a ou log ( a ).

Admitimos também que o log de a é o expoente da potência de 10 que dá a.

Desta forma, para qualquer número real x > 0, temos:

log 1 = 0, desde que 10 ⁰ = 1;
log 10 = 1, porque 10 ¹ = 10;
log 0,1 = - 1 porque 10 ^-1 = 0,1;
log (10 ^x ) = x;
log 1 / a = - log a, porque o logaritmo do inverso é igual ao oposto do logaritmo;
log a / b = log a - log b , porque o logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos;
log 2 <=> 0,30103;
log 3 <=> 0,447712;
log 4 <=> 0,69897.

Como 10 ^x é sempre maior que 0, o logaritmo de um número negativo ou nulo não existe. Por isso, uma função logarítmica é, por definição, sempre estritamente crescente e positiva em seu intervalo ] 0; ∞ [.

aluno a escrever no quadro — Se tem um filho no ensino secundário que precisa de explicações, tem professores particulares com experiência em Lisboa, no Porto e outras cidades do país disponíveis para dar uma ajuda nas explicações. | Fonte: Pexels.com

Outra propriedade da função logarítmica é que o logaritmo de um produto é sempre igual à soma dos logaritmos. Se temos log a e log b, podemos determinar log ( ab ):

a = 10 ^x1 <=> log a;
b = 10 ^x2 <=> log b:
ab = 10 ^{x1 + x2} <=> log (ab);
Então log ( ab) = log a + log b.

Estas propriedades algébricas levantam então a questão de como verificar se o logaritmo de 2 é realmente igual a 0,30103?

Vamos calcular o log 5:

log 5 = log (10/2);
= log 10 - log 2;
= 1 - log 2;
= 1 - 0,30103;
log 5 = 0,69897.

Ou log 2 = log (10/5):

= log 10 - log 5;
= 1 - 0,69897;
= 0,30103.

Agora que já sabemos calcular um logaritmo simples, como é que podemos determinar log (20) ou log (400)?

log (20) = log (10x2) = log (10) + log (2) = 1 + log (2) = 1,30103;
log (400) = log (100 x 4) = log (100) + log (4) = 2 + log (4) = 2,60205.

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Professor de matemática e a representação gráfica de uma função logarítmica

Graficamente, quando vemos que a função de logaritmo decimal assume uma forma ascendente, dizemos que a curva está a aumentar em R. A representação gráfica de uma função serve para estabelecer a sua tabela de sinais, mas no caso de log ( x ), isso pode ser complicado.

Na verdade, existe um valor de log (x) para qualquer valor de x entre 0 e + ∞. Além disso, notamos que a função aumenta muito pouco, mesmo quando x aumenta muito. Por outras palavras, quando a curva admite uma assíntota vertical, da equação x = 0 e lim _{x → 0} ln (x) = - ∞ onde x cresce muito, a função cresce muito pouco.

professor a escrever no quadro — Os explicadores fazem avaliações de todas as disciplinas onde o aluno precisa de apoio e determinam se são necessárias explicações de matemática, ciências ou física. | Fonte: Pexels.com

Mas então como é que podemos traçar a representação gráfica de log (x)?

Tal como no desenho de uma função afim, é necessário estabelecer uma tabela de pontos de referência arbitrariamente escolhidos. Por isso, um log de função de logaritmo decimal (x) é definido como] 0; 100]. Será necessário calcular o logaritmo de vários valores de x escolhidos ao acaso para conhecer a coordenada em relação à sua abscissa.

Sabemos, mantendo-se tudo igual, que log (1) = 0 e log (10 ) = 1. Também sabemos que log 5 = 0,69897. Para construir uma linha de equação y = 2x + 5, estas duas imagens de f (x) são suficientes.

Mas a função log (x) não é uma linha reta, mas sim uma curva assintótica, ou seja, uma curva que nunca toca o eixo horizontal e se estende de -∞ a +∞.

Vamos, portanto, considerar os seguintes pontos:

log (0,1) = -3;
log (1) = 0;
log (5) = 0,69;
log (10) = 1;
log (15) = 1,17;
log (20) = 1,30;
log (50) = 1,69;
log (75) = 1,875;
log (100) = 2.

Desta forma, podemos desenhar a curva a partir do ponto de coordenadas A (0; -3), B (1; 0), C (5; 0,69), etc. até I (100; 2). A que conclusões chegamos?

A função log (x) é negativa para todos os x <1 e positivos para x> 1. Quando x tende para 0, log (x) tende para -∞ e vice-versa, quando x tende para + ∞, log (x) também tende para + ∞.

Acreditamos que possa pensar que os logaritmos só são importantes para um aluno que tenha aulas de matemática num curso de ciências, ou para aqueles estudantes que querem continuar a sua educação com formação superior nas áreas da matemática, da física ou da química. No entanto, conhecê-los pode ser benéfico para todos os estudantes, porque podem fazer parte das avaliações das aulas ou até mesmo na preparação para os exames de matemática. Para não referir que a aprendizagem destes processos lógicos pode ser uma vantagens noutras formas de raciocínio.

Se tiver dificuldades que não desaparece, contacte os nossos professores particulares de matemática para o ajudar com a preparação e revisão dos conteúdos de matemática. Com explicações particulares com um profissional com experiência, pode focar-se em todos os conceitos dos estudos de matemática onde tem dúvidas. Um explicador vai criar um plano de estudos personalizado para as aulas particulares, com foco nas disciplinas onde existem dificuldades. Isto permite que cada aluno tenha melhores notas nos exames e possa continuar a sua educação.

Por isso, se precisa de apoio para a preparação dos exames ou nas aulas, procure um professor particular profissional da Superprof e tenha excelentes aulas de matemática online!

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