No ensino secundário, o problema do estudo de funções já faz parte da aprendizagem necessária dos estudantes dos últimos anos e pode ser muito importante em avaliações de seleção e na escolha de uma carreira futura.

Neste tipo de problema, terá que estudar uma função polinomial, exponencial, logarítmica ou trigonométrica.

O estudo de uma função consiste em estudar as suas variáveis e os seus limites, procurar os seus extremos, encontrar as suas assíntotas, se existirem, e finalmente rastreá-las para mapear uma representação gráfica.

Estudar as variáveis de uma função é, portanto, uma questão padrão, entre as que saem sempre nos testes de matemática.

Neste artigo, apresentaremos o método geral para estudar as variáveis de uma função definida em um intervalo I, elaborar a sua tabela de variáveis e depois traçar o seu gráfico. Isso também servirá como um guia para as suas aulas de matemática.

E quem sabe esse não será o seu incentivo para se dedicar mais às aulas de matemática ou procurar um bom professor particular para desenvolver melhor as capacidades matemáticas?

A matemática também exige prática
A dedicação aos exercícios deve ser diária

Vejamos o exemplo da função f (x) definida e dada por:

f (x) = x 3 + 3x 2 -9x +6

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O que é uma função?

As funções, matéria de matemática que muitas dores de cabeça trazem a alguns estudantes, são definidas por relações matemáticas. Devido à sua generalidade, estas aparecem em muitos contextos matemáticos aplicados às variadas ciências e grande parte das ciências que se baseiam na matemática, baseiam-se também no estudo de funções, como a física, por exemplo.

O conceito de função é uma generalização de uma fórmula matemática, estas descrevem relações matemáticas entre dois elementos distintos e é uma forma de conseguir associar cada valor do argumento x, um único valor da função f(x).

Esta resolução pode ser encontrada através de uma equação, um gráfico, diagramas que representem ambos os conjuntos, uma regra de associação, tabela de correspondência, entre outras formas diferentes de resolver o problema.

Uma função pode ser definida ao utilizar uma lei de formação, em que para cada valor de x existe um valor de f(x).

A formalização matemática para a definição de uma função é: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:
f: x → y

Cada elemento do conjunto x é levado a um elemento do conjunto y e esta ocorrência é então determinada por uma lei de formação.

A partir daqui, é possível vermos que x é variável independente e que y é a variável dependente, pois em cada função, para conseguirmos encontrar o valor de y, temos primeiro de saber o valor de x.

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Ao longo do ensino básico e secundário, são estudadas as seguintes funções:

  • Funções Reais de Variável Real (FRVR) (Funções reais de variável real; funções definidas por expressões analíticas; Propriedades geométricas dos gráficos de funções; Paridade; simetrias dos gráficos das funções pares e das funções ímpares; Relação geométrica entre o gráfico de uma função e o da respetiva inversa; Relação entre o gráfico de uma função e os gráficos das funções, números reais, e não nulos.);
  • Estudo da função x → a(x - b) + c , a ≠ 0;
  • Domínio e representação gráfica das funções definidas analiticamente por F(x) = a √ x – b + c , a ≠ 0 e f (x) = a √ x – b + c , a ≠ 0;
  • Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas (FEL).

Entre várias outras. A disciplina de matemática não é fácil, principalmente se forem deixados pontos importantes da matéria para trás por falta de compreensão ou de ajuda.

É aqui que as explicações matemática podem ser mais úteis que nunca e ainda mais se forem com um professor particular!

Função derivada

Existem duas noções utilizadas para a função derivada, o resultante de Leibniz e outro de Joseph Louis Lagrange, que é erradamente atribuída a Newton com alguma frequência.
Na primeira, existe uma mudança infinitesimal em x que é denotada por dx. Na segunda, a derivada em relação a x de uma função F(x) é denotada f’(x) ou fx’(x).

A função f (x) é uma função polinomial formada pela soma de 3 termos da forma "ax n  " (onde a e n são números naturais) e uma constante. Sabendo que a derivada de "ax n  " é da forma "anx n-1  " e que a derivada de uma constante é zero, a derivada de f (x) é:

f '(x) = 3x 2 + 6x -9.

Uma função é considerada variável quando a derivada existe em cada ponto e cada ma é definida como um processo de limite.
Uma outra definição de uma função variável é a função F ser derivável em a se existir uma função de I em R contínua em a, tal como:

(∀x ∈ I) : f(x) + φa (x) . (x-a).

Os tipos de funções

As funções podem ser de três tipos diferentes:

  • Função injetora;
  • Função sobrejetora;
  • Função bijetora.

Função injetora

Esta é uma função que transforma os diferentes elementos do domínio (conjunto A) em diferentes conjuntos da imagem (elementos do conjunto B).

Basicamente, não existe elemento da imagem que possui correspondência com mais de um elemento do domínio. traduzindo para linguagem matemática:

x1 ≠ x2 em A ⇒ f(x1) ≠ f(x2) em B

Portanto, para mostrarmos que uma determinada função não é injetor, basta encontrar dois valores distintos para x:

x1 ≠ x2 f(x1) = f(x2)

f(2)= 2- 4 = 4 - 4 = 0 f(2) = 0

f)-2) = (-2)2 - 4 = 4 - 4 - 0 f(-1) = 0

Resultado: f(2) = f(.2), logo, f(x) não é injetora.

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Compreender e dominar as funções matemáticas é possível com treino e dedicação ao estudo da matemática. | Fonte: Pexels

Função sobrejetora

As funções trabalham a transposição de um elemento de um determinado conjunto para outro conjunto diferente. É possível então analisar os elementos de ambos os conjuntos e desta forma, classificar o tipo de função.

Na função sobrejetora devem ser analisados os elementos do contradomínio (conjunto B).

Se f for uma função que leva os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B (f: A B), esta é sobrejetora quando um elemento do conjunto B for imagem de algum elemento do conjunto A ( para y ∈ B existe um x∈ A, então, f(x) = y).

A função é sobrejetora quando todos os elementos presentes no conjunto B forem imagem de pelo menos um elemento do conjunto A, Im(f)=B (a imagem do domínio da função f é igual ao conjunto B).

Função bijetora

Esta é injetora e sobrejetora em simultâneo. Ao ser injetora, os elementos distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio. Sendo assim, podemos afirmar que uma função bijetora apresenta a seguinte propriedade:

f ↔ (x' ≠ x'' → f(x') ≠ f(x'')), para todo x' e x'' pertencentes ao domínio de f.

Devido a serem sobrejetoras, estas funções bijetoras devem ter um contradomínio igual à imagem, ou seja, em qualquer elemento do domínio, tem de existir um elemento no contradomínio, logo, não existe um contradomínio, podendo essa palavra ser substituída por imagem, porque estes conjuntos são sempre iguais.

Exemplo de uma função bijetora:

y = x3

Aqui, qualquer sque seja o elemento x, não irão haver dois elementos diferentes na imagem relacionados com este e a imagem é igual ao contradomínio.

Exemplo de uma função não bijetora:

y = x

com domínio e contradomínio, definidos com números reais.

f(x) = x

f(2) = 2

f(2) = 4

f(– 2) = (– 2)

f(– 2) = 4

Ambos estão relacionados com o mesmo representante da imagem, logo, a imagem não é injetora.

Ao vermos que nenhum valor do domínio tem como resultado um número negativo, vemos que esta também não é sobrejetora.

Fatorize, se possível, a derivada de f

O objetivo desta etapa é avaliar a derivada da função f (x) para expressá-la como um produto ou um quociente de expressões. Fatorar, simplificando as sentenças matemáticas,  é um passo chave que não deve ser esquecido porque facilita muito o estudo de f '(x).

E sim, a fatorização é como resolver um enigma matemático  em aulas de matemática, pois é preciso prestar atenção aos dados e determinar a melhor maneira de torná-lo mais palpável ao indivíduo que está resolvendo a questão. Fator comum em evidência, agrupamento, diferença de quadrados e trinómio dos quadrados perfeitos são apenas algumas das maneiras de realizar essa etapa. Se você ainda não as conhece, pergunte ao seu professor e tente avançar ainda mais no ensino da matemática!

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Estudar matemática de forma gradual é mais eficaz e o aluno conseguirá uma maior compreensão dos exercicios de matematica. | Fonte: Pexels

Observamos que podemos tomar 3 como o elemento comum em evidência, o que dá: f '(x) = 3 (x 2 + 2x -3).

2 + 2x -3 é um trinómio de segundo grau da forma ax 2 + bx + c com números reais a, b e c. Para fatorizar este trinomial deve-se primeiro calcular o discriminante (recorda-se da Fórmula de Baskhara? Este é sempre representado pela letra grega delta  ) e encontrar as raízes x 1 e x 2 .

= b 2 -4ac = 2 2 -4 × 1 × -3 = 4 + 12 = 16

Podemos então calcular as raízes através das duas fórmulas seguintes:

1 = -3

2 = 1

Note-se que se o discriminante for positivo (e então ambas as raízes existem), o trinomial pode ser escrito como factorizado (x-x 1 ) (x-x 2 ), o que dá x 2 + 2x -3 = (x - (- 3)) (x-1) = (x + 3) (x-1).

A derivada da função está escrita na seguinte forma fatorada:

f '(x) = 3 (x + 3) (x-1)

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Para estudar o sinal de f '(x) no intervalo I

3 é um número positivo, portanto, o sinal de f '(x) é idêntico ao sinal de (x + 3) (x-1).

Vamos resolver as seguintes desigualdades:

x + 3> 0 => x> -3 então o binómio x + 3 é positivo quando x é maior que -3, zero quando x é igual a -3 e negativo quando x é inferior a -3.

x - 1> 0 => x> 1 então binomial x-1 é positivo quando x é maior que 1, zero quando x é 1 e negativo quando x é inferior a 1.

A tabela de signos da derivada f '(x) é mostrada abaixo:

X - ∞                                  -3 1 + ∞
x + 3                  - 0 + +
x - 1                  - - 0 +
f '(x)                + 0 - 0 +

Note-se que poderíamos ter determinado o sinal trinomial x 2 + 2x -3 usando outro método.

As linhas devem ser perfeitas em seu estudo
Não se esqueça de organizar bem os dados

Portanto, quando o discriminante é positivo, o trinómio tem X ^ + bx + c converte o sinal oposto de um deles , no intervalo entre as duas raízes X 1 e X 2 e o mesmo sinal que foi em outro lugar.

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Desenhe a tabela de variações de f em I

f sendo diferenciável, para qualquer intervalo J incluído em:

Se f '(x)> 0 para todo x pertencente a J, f está aumentando estritamente em J.

Se f '(x) <0 para todo x pertencente a J, f está diminuindo estritamente em J.

A tabela de variação é a representação esquemática das direções tomadas pela curva representativa de uma função.

A tabela de variações de f é dada por:

X -∞                                            -3 1 + ∞
f (x)                                                   33 + ∞

-∞ 1

Observe que f (-3) = 33 e f (1) = 1

Vamos calcular os limites da função:

= = + ∞

= = -∞ (porque um número negativo com uma potência ímpar permanece negativo)

De acordo com a tabela de variações de f, encontramos que tem um máximo no ponto A (-3; 33) e um mínimo no ponto B (1; 1).

Desenhe a função em seu intervalo de definição

Para desenhar um gráfico que represente esta função, basta colocar o mínimo e o máximo no marcador e fazer uma pequena tabela que nos ajude a colocar alguns pontos particulares:

X f (x)
-5 1
-2 28
-1 17
0 6
5 161

E aqui está a nossa famosa curva:

Apresentando os números corretos de uma tabela
A variação de uma função

A matemática e a arte são muitas vezes associadas, mas uma curva matemática está longe de ser uma forma livre de arte. É necessário ser muito preciso e ter cuidado para colocar os marcadores corretamente na curva.

A importância de um professor particular

A matemática pode ser complicada e cheia de problemas por resolver, mas esta não precisa de ser um grande problema na sua vida. Saber os exercícios corretos para se realizar e como as resoluções de problemas podem ser feitas de maneira mais efetiva são alguns dos desafios que se podem superar com um bom professor.

Se o seu programa escolar parece defasado ou você precisa de ajuda específica em um tópico, que tal procurar um professor particular. Ele terá as melhores maneiras de ajudá-lo a progredir e superar o medo dos números, funções, equações...

Programa personalizado

Se já é um estudante de ensino básico ou secundário, pode começar a rever melhor os pontos passados em sala de aula ou já avançar para pontos mais complexos com a ajuda de alguém que conhece bem o seu potencial. Seja para se preparar para uma prova específica ou entrar no ritmo certo para acompanhar a sua turma, um professor vai separar sempre os exercícios corretos e dar uma atenção mais direcionada para si.

Os estudantes do ensino superior e os que se estão a preparar para um exame nacional matemática que envolve temas como matemática financeira ou lógica, também podem contar com este tipo de profissional.

Neste caso, é mais importante ainda avaliar bem as credenciais e o passado dos professores, já que o seu nível é mais avançado e ele irá precisar de trazer elementos diferentes do que já fazem parte de um programa escolar fechado como o do Ensino básico ou secundário. E, claro, ele precisa de dominar bem o tema que está a ser estudado no momento.

E se já é um profissional da área de matemática, ciências ou administração que deseja desenvolver habilidades de raciocínio mais rápido e concentração, essa também pode ser uma boa chance de aprender. Afinal, a matemática nunca sai da nossa rotina! E saber lidar bem com os números faz toda a diferença.

Um professor particular pode marcar sua vida
Saber matemática é muito importante para seu futuro

Atenção aos problemas certos

Na aula de matematica o estímulo acontece de forma gradual e é precisa usar isso a seu favor.  Use o seu tempo com o seu professor particular para realizar as tarefas que não iria conseguiria sozinho, trazendo o conhecimento dele para apoiar a ampliação do seu. Afinal,  essa é a função dele: apoiar o seu desenvolvimento e também preencher as lacunas que podem ter sido criadas no seu aprendizado.

Se tem uma prova importante nas próximas semanas, que tal pesquisar o que pode ser importante para as mesmas e utilizar isso como guia para os seus estudos nos próximos dias?

Se já se dá bem com equações de primeiro grau, que tal uma lista de exercícios mais complexa e que pode ajudá-lo a ser melhor também em funções? E também em geometria?

O seu professor vai encontrar os pontos certos a melhorar e aplicar todas as suas questões em revisões constantes e focadas no que mais é preciso.

Cuidados na hora de estudar

A sua gestão do tempo precisa ser muito bem feita, já que a sua disciplina e dedicação serão testadas a todo tempo. Ao contrário de um professor de sala de aula que divide a atenção entre 30, 50 alunos, o seu professor estará à sua disposição num horário específico e você certamente deseja aproveitar o melhor desse investimento.

Por isso, tenha sempre à mão quais são os desafios que deseja superar e tire todas as suas dúvidas, fazendo esse momento ser mais produtivo e completo.

Aproveite para ter um espaço de estudos claro, organizado e que já tenha todas as ferramentas necessárias à mão: régua, caneta, lápis, borrachas, apontadores, calculadora, cadernos... Não perca o seu tempo a procura de algo que pode ser fácil de já estar organizado com antecedência. É a sua aprendizagem que está em jogo.

Faça do seu professor particular de matemática o seu tutor para conquistar o que mais deseja.  A matemática pode ser maravilhosa quando se sabe utilizá-la bem.

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Ter um professor de matemática particular com a Superprof

Depois de vista a complexidade e dificuldade que alguns dos problemas de matematica e exercicios de matematica têm, vemos quão crucial se torna ter um bom professor de matemática a apoiar toda e qualquer etapa da vida estudantil.

Para os estudantes do ensino básico e secundário que tenham a disciplina matemática A, irão ter de estudar e compreender as funções, pois não têm outra hipótese e tudo se poderá tornar bastante mais fácil com o apoio e ajuda de um professor particular.

Porquê um professor particular e não aulas de matematica em grupo? Como já referimos acima, ao ter apenas um aluno consigo, o professor de matemática terá maior oportunidade de se focar nos problemas e dificuldades desse aluno, sendo assim possível passar toda a aula de matemática a resolver problemas e exercícios apenas de funções, ou então fazer a devida preparação para um teste específico ou mesmo para os exames nacionais.

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A melhor forma para escolher o professor ideal é abrir o perfil individual de cada um, de forma a aceder às informações partilhadas e estar atento a:

  • currículo académico do mesmo, para confirmar as habilitações e qual a área de formação, se fez um curso de matemática ou de outras ciências onde a matemática esteja presente;
  • o percurso profissional, pois aqui conseguirá verificar se existe experiência enquanto explicador de matemática ou não;
  • qual o ano letivo que este tutor está qualificado e apto para dar aulas e explicações matemática;
  • o preço por este cobrado;
  • comentários de outros alunos no perfil Superprof, assim como as classificação média de cada um, podendo ser de 1 estrela, sendo esta a pior, ou 5 estrelas, significando isto que é um explicador excelente.

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Ricardo

Marketeer. Professor. Country Manager. Redator. Dedicação a 200% em tudo o que me comprometo ao longo da minha vida. Adoro as diferentes personalidades existentes em ambiente profissional e social. Em constante transformação. Escrevo para partilhar o meu conhecimento e entusiasmo aos leitores que queiram ver respondidas as suas questões ou aprofundar algum tema.