Uma teoria matemática só deve ser considerada perfeita se tiver sido feita tão clara que possa ser entendida pelo primeiro indivíduo encontrado na rua.
David Hilbert
Para aprender matemática é necessário manter a atenção durante as aulas, ter disciplina para manter o plano de estudos, realizar o máximo de exercícios que for possível e, acima de tudo, que tente verdadeiramente entender e deduzir as sequências matemáticas com raciocínio lógico e não apenas tentar decorá-las para as debitar nos testes e exames.
Isso implica ter compromisso e determinação, uma vez que ,para aumentar a sua gama de variações de uma função linear, por exemplo, terá que desenvolver a sua capacidade de resolução de inequações e equações diferenciais. E claro que as aulas de matemática que os alunos frequentam entre o ensino básico e o ensino secundário ajudam a aprender a tabuada e os teoremas de geometria ou da probabilidade, mas isso pode não ser suficiente.
Para analisar uma função, para estudar os limites de funções, considerar um logaritmo ou função exponencial com cálculo, tem que entender verdadeiramente a linguagem das contas.
Depois de consolidar a educação dos níveis mais básicos, muitos alunos emperram no mesmo obstáculo, um dos elos sagrados desta ciência: a função afim. Esta função é tão importante na educação dos alunos que faz parte dos muitos pontos importantes da matemática e da física que estão incluídos nos planos das aulas e das explicações, tal como razão e proporção, resolução de problemas de cinemática e progressões aritméticas.
E uma vez que as funções fazem parte do currículo escolar do ensino secundário e costumam estar presentes nas avaliações dos exames de acesso ao ensino superior, é importante que não deixe passar estas noções em branco. E se não conseguir consolidar os conceitos nas aulas tradicionais, pode complementar a aprendizagem com explicações ou aulas com professores particulares.
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Explicações de matemática e a definição e teoremas da função afim
Uma função afim é uma função polinomial de 1º grau, onde é definido o valor em x. Esta função é uma de muitas que os professores ensinam nas aulas do ensino secundário e que levam os alunos a recorrer a explicações.
O valor b representa, numa referência gráfica, a ordenada na origem. É o ponto em que a curva cruza o eixo y (y) na sua distância da origem (0). A variável a, conhecida como "coeficiente angular", é o grau da inclinação da curva, computável a partir do eixo da abscissa (x) no gráfico. Quanto maior for o número de a, mais forte será a inclinação da curva, seja negativa ou positiva.
A variável b é o "coeficiente linear", ou seja, o ponto de interseção com o eixo y. E x é a variável independente.
Para entender bem os exercícios matemáticos, podemos escrever que f (x) mede a taxa de aumento ordenados por unidade no eixo x.
Assim, uma função linear de um conjunto de valores resolvendo a equação y = ax + b, o intervalo de dados e a representação gráfica irá assumir a forma de uma linha reta oblíqua, aumentando ou diminuindo.
Devemos ler que f é a função do número x, corresponde ao número de ax + b, x é o antecedente, ax + b é a imagem de x no intervalo, que é denotada f (x ) = ax + b.
Por exemplo, se f (x) = 3x, obtém-se uma reta - denotada d1 - aumentando, intersectando o eixo y no ponto 0. Se f (x) = - x , então d2 será decrescente. Por outro lado, se f (x) = -5, a linha será constante e cruzará o eixo y no ponto -5.
Para calcular a imagem de um x real, basta multiplicar x pelo coeficiente a, depois adicionar a constante b, e podemos começar a desenhar a linha num gráfico.
Diferentes tipos de funções afim
As funções afins têm diferentes tipos dependendo dos valores dos seus coeficientes. Desta forma, podem ser:
- Constante: neste tipo, a = 0 . Aqui, a função é representada por f (x) = b, onde b é uma constante, uma linha horizontal paralela ao eixo x. Não muda de valor conforme x varia;
- Identidade: neste tipo, a = 1 e b = 0. Neste caso, a função é representada por f (x) = x e é uma linha diagonal com inclinação de 45 graus passando pela origem;
- Linear: neste tipo, a ≠ 0 e b = 0. Aqui, a função é representada por f (x) = ax, onde a é o coeficiente angular. É uma linha reta que passa pela origem e a sua inclinação é determinada pelo valor de a;
- Linear geral: neste tipo, a ≠ 0 e b ≠ 0. Neste caso, a função é representada por f (x )= ax + b, onde tanto a e b têm valores diferentes de zero. É uma linha reta com inclinação determinada por a e intercetação no eixo y em b.
Em que situações reais do dia a dia posso encontrar uma função afim?
Uma das questões que mais atormenta os alunos é saber que têm que aprender conceitos matemáticos que nunca mais vão utilizar, mas a função afim tem aplicações práticas em coisas que fazemos todos os dias. Como:
- Custo fixo e variável: em negócios, o custo total de produção de um bem ou serviço pode ser modelado por uma função afim. O custo fixo representa o termo independente (b em f (x) = ax + b) e o custo variável por unidade de produção é representado por a;
- Salário: o salário mensal de um trabalhador pode ser representado por uma função afim, onde há um salário base (interceção b) e um valor por hora ou dia trabalhado (coeficiente angular a);
- Consumo de energia elétrica: o custo mensal de eletricidade numa residência pode ser modelado por uma função afim, onde o custo fixo (taxa de conexão) é representado por b e o custo variável por unidade de energia consumida é representado por a;
- Distância percorrida: o caminho percorrido por um veículo pode ser modelada por uma função afim. A posição inicial do veículo (no eixo y) é representada por b e a velocidade do veículo (mudança na posição por unidade de tempo) é representada por a;
- Tempo de estudo e notas conseguidas: a tempo dedicado aos estudos pode ser relacionado às notas obtidas no exame através de uma função afim. O tempo de estudo representa x, enquanto que a nota obtida é f (x). O coeficiente angular a indica como a nota esperada aumenta com cada hora adicional de estudo, e a interceção b representa a nota esperada com zero horas de estudo, que poderia ser uma estimativa da capacidade natural do estudante;
- Velocidade e distância num movimento uniforme: num movimento uniforme (onde a velocidade é constante), o caminho percorrido pelo objeto pode ser modelada por uma função afim. Aqui, a velocidade seria o coeficiente angular a, e a posição inicial do objeto seria a interceção b.
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Representar graficamente uma função afim
A análise das funções demora algum tempo, e são necessárias muitas aulas, explicações e exercícios para finalmente ter uma boa compreensão e nível de entendimento matemático.
Aprender a desenhar uma linha de função afim num marcador gráfico obriga a que o professor de matematica consiga transmitir o seu conhecimento durante as aulas com um método eficaz para cada aluno. Mas, muitas vezes, os professores não têm essa capacidade, o que obriga a que os estudantes necessitem de aulas particulares ou explicações extra, para conseguir ter a formação adequada.
Vejamos um exemplo:
Neste caso, a função f , definida por f (x) = 2 x - 3.
f (x) é da forma ax + b, com a = 2 e b = -3 e é, portanto, uma função afim.
Vamos tentar desenhar a linha da equação y = 2 x - 3. Como é uma linha reta, só precisamos de encontrar dois pontos para a desenhar. Temos então que procurar os três valores de x arbitrários e fáceis de ler na referência, e depois calcular as imagens de f (x).
- Para x = 0, f (x) = -3: ponto A;
- Para x = 2, f (x) = 1: ponto B.
Assim, obtemos os pontos A e B das coordenadas A (0; -3) e B (2; 1).
No entanto, podemos ainda adicionar um terceiro ponto para evitar cometer erros e fazer uma verificação, ou seja, x = -2, f (x) = -7. Agora podemos desenhar a linha da equação y = 2x -3 e ligar os pontos entre eles.
Ou com outro método:
Começando com a coordenada em -3, "subimos" 4 unidades no eixo y, e mudamos 2 unidades para a direita no eixo x, ou "subimos" 6 unidades em y e deslocamos 3 unidades em x. Quando x aumenta por um, y aumenta por dois, desta forma a = 2.
Obtém-se os pontos das seguintes coordenadas: A (0, -3), B (2, 1), C (3, 3), o que é suficiente para extrair a linha d1, onde qualquer ponto na linha satisfaz a equação y = 2x - 3.
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Determinar uma função afim com um explicador de matemática
Determinar uma função f é fácil se soubermos os valores de a e b. No nosso exemplo f (x) = 2x - 3. Sabemos que f (2) = 1, que f (-2) = -7 e que f (1) = -1.
Para determinar esta função, podem ser utilizados dois métodos, cálculo ou leitura do gráfico. Basta calcular a e b sem utilizar o gráfico. De seguida, desenhe a linha. Resolvido?
Determinar uma função a partir da representação gráfica
Este é o método mais fácil, mas ao final de algumas aulas o professor já não vai disponibilizar o gráfico no final da ordem do exercício, já é o aluno que deve conhecer a função. Se quer compreender verdadeiramente a representação gráfica, tem que se habituar aos desafios lançados pelos professores. E lembre-se, sempre que precisar de ajuda recorra a explicações particulares.
Graficamente, para determinar f (x) = 2x - 3, basta ver onde aponta o segmento de reta que intersecta os eixos de x e y. No nosso caso, encontramos os pontos A (0; -3), B (2; 1) e C (3; 3).
Aqui a linha d 1 tem uma equação do tipo y = 2x - 3.
Determinar uma função com cálculos
Sabe o que fazer se não tiver um gráfico disponível ou o professor pedir para documentar o raciocino no exame? Consegue explicar a lógica ao explicador? Se não sabia, não se preocupe. Existe uma fórmula mágica:
Quando f é uma função afim não linear, os valores de x satisfazendo f (x) não são proporcionais. No entanto, as diferenças entre os valores de x são.
Pode calcular o coeficiente diretor com dois números x 1 e x 2 e a sua imagem por f: a = f(x 1) - f (x 2) / x 1 - x 2.
Agora temos x 1 = 0 e x 2 = 2, com f (x 1 ) = -3 e f (x 2 ) = 1.
Substituindo os desconhecidos, obtemos a = (-3 - 1) / (0 - 2) = -4 / - 2, que é a = 2.
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Aulas de matemática online e o sinal de uma função afim
Agora que já identificamos a inclinação da linha e a sua representação gráfica, sabe como encontrar o sinal de f ?
Para encontrar o sinal, lembre-se que se a for positivo, então a função f está a aumentar e se for negativa, está a diminuir.
Se x 1 <x 2 , então ax 1 <ax 2 então ax1 + b <ax2 + b e f (x1) <f (x2). Neste caso, -2 é menor que 0 e -7 é menor que -3.
A função f (x) = 2x - 3 é, portanto, crescente. Os valores de f (x) começam do negativo para positivo, cruzando o ponto 0 para a coordenada - 3.
A equação ax + b = 0 (com a ≠ 0) tem uma solução única que é x = ((- b) / a). A linha y = ax + b intercepta a abscissa no ponto de coordenada ((-b) / a; 0).
Como b = - 3 e a = 2, deduzimos que o sinal de f se torna positivo no ponto de coordenadas (2/3; 0).
Para estudar a variação de f (x), deve-se conhecer a sua derivação:
Nota: f é derivável sobre ℝ por todas x ∈ ℝ, f '(x) = 2x - 3 = 2. f' (x) é positivo.
Os sinais de f serão: negativo de - ∞ no ponto 2/3 e positivo de valor 2/3 em + ∞.
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Dicas para dominar mais facilmente a função afim
Dominar funções matemáticas pode ser uma tarefa desafiadora, mas com prática e abordagens eficazes, é possível tornar este processo mais fácil e eficiente. Sabemos que, para os alunos que começaram agora as aulas, estas sequências de números podem parecer assustadoras. Mas garantimos que se se aplicar e repetir muitos exercícios será possível ter boa nota no exame.
Para começar, e antes de mergulhar em exercícios e cálculos, é crucial ter uma compreensão sólida dos conceitos fundamentais por trás das funções matemáticas. Isto inclui entender o que são, conhecer os seus domínios e conjuntos de imagem, bem como as suas propriedades mais básicas.
Como mencionamos acima, existem muitos tipos de funções matemáticas (lineares, quadráticas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc.). Compreender as características distintas de cada tipo de função e como se comportam ajuda a que seja capaz de aplicar as estratégias corretas quando tiver que resolver problemas.
Mas, o mais importante, é praticar regularmente. A prática é essencial para dominar qualquer cálculo matemático. Deve dedicar um tempo regular para tentar resolver exercícios e problemas de função, para se familiarizar ao máximo com a matéria e saber trabalhar com ela. E à medida que for resolvendo exercícios mais básicos, pode passar para problemas mais difíceis e complexos. Quantos mais resolver, mais conhecimento terá e mais fácil será encontrar a solução correta.
Pode utilizar exercícios e problemas já presentes nos seus livros escolares e que foram resolvidos previamente nas aulas.
Também pode procurar por livros escolares de anos anteriores ou outros livros didáticos que tenham exemplos diferentes. Ou pode ainda procurar aulas de matemática online. Existe uma variedade de recursos online, desde coleções de exercícios a sites interativos. Este tipo de recursos têm a vantagem de disponibilizar em conjunto as soluções, bem como tutoriais em vídeo, explicações claras e exemplos práticos para que possa perceber onde falhou e o que ainda falta trabalhar.
Independentemente do material que decidir utilizar, organize os seus próprios resumos ou fichas de estudo que incluam definições, propriedades importantes e exemplos de cada tipo de função. Deve ter sempre toda a informação à mão para poder encontrar o que precisa rapidamente ou se precisar de fazer uma revisão rápida antes de testes ou exames.
E se sentir que precisa de um incentivo extra, porque não estudar com outros colegas? Estudar em grupo pode ser bastante benéfico, porque permite discutir conceitos, resolver problemas e conjunto e aprender com os outros. Pode aproveitar para tentar explicar alguns conceitos ao seus colegas e perceber se consolidou realmente a matéria. Senão, já sabe o que precisa de rever.
Dominar as funções matemáticas pode levar tempo e esforço, por isso é importante que mantenha uma atitude positiva e persistente. Lembre-se de que é normal encontrar desafios ao longo do caminho, mas com dedicação e prática consistente, terá sucesso.
Por último, é essencial que saiba quando procurar ajuda! Não é vergonha nenhuma, como se costuma dizer "ninguém nasce ensinado". E se tem dificuldades que não consegue ultrapassar, não deve hesitar em fazê-lo.
Se teve aulas de MACS no ensino secundário, este tema fazia parte da formação, os sinais. Se não se recordar desta temática peça ao seu explicador ou professor particular para o rever na próxima aula. Ou se tiver todos os conceitos dos estudos de matemática, física, química e ciências baralhados na cabeça, porque não ter explicações? Com explicações particulares terá acesso a um explicador profissional, com formação superior e anos de experiência de ensino que o pode ajudar a entender as funções, os sinais e muitos outros temas matemáticos importantes.
Com explicações particulares poderá fazer a preparação para os exames com apoio profissional, o que lhe permite ter boa nota e continuar a sua educação no ensino superior, se o quiser fazer. Na Superprof, encontra várias opções de docentes com vasta experiência para explicações que o podem ajudar durante o percurso escolar. Com explicações em casa ou até explicações online, terá apoio profissional para estas ciências e para a preparação dos exames de todas as disciplinas que precisar.
E agora? Pronto para começar?
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