A matemática é a única ciência exata em que nunca se sabe do que se está a falar nem se aquilo que se diz é verdadeiro.
Bertrand Russell
Quando começamos a estudar matemática na escola primária para aprender a contar e a calcular, são formadas as bases para o nosso conhecimento básico dos números e da lógica matemática, em conjunto com o raciocínio lógico.
E para muitos, a matemática permanece reduzida a apenas à multiplicação, frações ou estatística, sem considerar a disciplina e a filosofia que se seguem para entender melhor o mundo que nos rodeia. E esta visão limitada não contribui em nada para o lado prático e simbólico da disciplina, infelizmente. Até porque, quando chegamos ao ensino secundário, aprendemos uma série de teoremas provados e irrefutáveis.
Neste sentido, é fácil acreditar que a lógica matemática já não coloca novas questões, e até mesmo que não exige mais pesquisas. Mas a verdade é que existem alguns problemas matemáticos que nunca foram resolvidos, e mesmo os maiores investigadores e matemáticos não foram capazes de encontrar qualquer solução com o apoio dos seus computadores super potentes!
A resolução de um dos desafios dos sete problemas do milénio permite receber um prémio monetário com valor até um milhão de dólares.
Começamos a aprender matemática para ter sucesso no percurso escolar, mas esta aprendizagem pode permitir que seja o primeiro a resolver um desses problemas. Tentar não custa nada: apenas amplia os nossos horizontes e a nossa criatividade!
Se quiser tentar a sua sorte, deixamos a lista dos problemas que nunca foram resolvidos em matemática, na esperança que um dia entre para a fabulosa história da matemática, resolvendo-os!
A hipótese de Riemann
Este problema é considerado por muitos matemáticos como um dos mais difíceis de todos os tempos. E, de facto, a hipótese de Riemann nunca foi resolvida! Esta é provavelmente a razão pela qual são poucos os investigadores que tentam resolver esta conjetura hoje em dia: receiam "desperdiçar" a sua carreira num enigma cuja solução parece impossível de se encontrar.
Em 1859, Bernhard Riemann publicou um artigo intitulado "Sobre o número de números primos menores do que uma quantidade determinada", sem imaginar que este artigo iria apresentar uma das questões mais complicada da história da matemática. Esta conjetura trata uma questão que os matemáticos têm tentado responder há mais 2000 anos: a origem dos números primos.
Esta hipótese está formulada em termos da chamada função zeta de Riemann, denotada por ζ(s), onde s é um número complexo.
A função zeta de Riemann é definida pela seguinte série infinita:
ζ(s)=1s+2−s+3−s+4−s+…
Afirma que todos os zeros não triviais da função zeta têm parte real igual a 1221. Um zero não trivial de uma função é um valor de s para o qual a função se anula. Se for comprovada, tem implicações profundas sobre a distribuição dos números primos.
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A Conjetura de Hodge
Outro problema definido pelo Clay Mathematics Institute em 2000, a conjetura de Hodge, reúne diversas competências matemáticas que não possuíam vínculo prévio, como a topologia algébrica e a geometria algébrica.
De acordo com uma definição desse mesmo instituto, esta conjetura afirma que, em variedades projetivas complexas (de tipos de espaço topológico particulares), os objetos denominados classes de Hodge são combinações lineares com coeficientes racionais de classes associadas a objetos. Seriam, portanto, subconjuntos algébricos com nomes geométricos.
Claire Voisin, uma matemática francesa que trabalha no CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique), trabalha com esta conjetura. Segundo ela, a sua demonstração seria um verdadeiro tesouro matemático!
Numa entrevista dada ao jornal científico La Recherche, Claire resume a conjetura de Hodge, explicando que começa a partir de um tipo de objeto, chamado conjuntos de projeções complexas, que são conjuntos de pontos num conjunto projetivo definido por restrições "polinomiais". Parece um pouco complexo, não é mesmo? Mas não se deixe intimidar!
Quando começamos pelas bases bem fundamentais do conhecimento matemático, podemos, de forma tranquila, caminhar até estas questões mais complexas. O que se torna muito mais difícil é já partirmos para as questões elevadas, complexas, sem dominarmos as bases do conhecimento que nos levaram a elas. E, infelizmente, é mesmo isso que a maioria de nós tenta fazer! Por isso é que muitas questões complexas como esta se tornam quase impossíveis de serem elucidadas.
Apenas um dos problemas do milénio conseguiu ser resolvido. Em 2002, o matemático russo Grigori Perelman publicou uma solução para a Conjetura de Poincaré e foi reconhecido pelo seu feito único e irreproduzível até agora.
Este pode não ser o problema mais difícil de resolver, mas é, certamente, um dos mais difíceis de entender, envolvendo muito conhecimento em matemática e todas as nuances exigidas para a sua compreensão. Trata-se, entre outras questões, de uma geometria que não pode ser visualizada e, claro, isso dificulta ainda mais o problema.
A Conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer
A conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer envolve equações algébricas que analisou frequentemente nas suas aulas de matemática. No entanto, é necessário possuir um certo nível de conhecimentos e práticas matemáticas antes de tentar resolver esta questão.
Essa conjetura, de forma simplificada, tenta definir o número de pontos notáveis nas chamadas curvas elípticas. Se já é difícil determinar as soluções de uma equação polinomial P (x, y) = 0 em que x e y são números racionais, esta conjetura complica ainda mais a questão, ao prever que existe uma forma de se verificar a existência de um número finito ou infinito de soluções para essas equações nas curvas elípticas. Incluindo contando com a fatorização de números primos ou a demonstração do último teorema de Fermat.
A Equação Navier-Stoke
No campo da física e mecânica de fluídos, mas menos famosa do que E = MC2, a equação de Navier-Stoke fascina físicos e matemáticos, e pretende descrever o movimento de fluidos ou, mais precisamente, o seu campo de velocidade.
É uma equação diferencial não-linear, e a sua peculiaridade é que é utilizada com muita frequência, mesmo sem a sua solução ter sido encontrada! Fornece, por exemplo, uma melhor compreensão das correntes oceânicas, o que permite perceber melhor o movimento deste fenómeno.
Se tiver conhecimentos das ciências matemáticas ou físico-química e conseguir solucionar a equação de Navier-Stoke, será o segundo académico a resolver um dos sete problemas do milénio!
Equações de Yang Mills
Também relacionadas com a física, as teorias de Yang Mills lidam com a teoria quântica de campo baseada na noção de não variação de massa, que é utilizada para descrever campos de força fundamentais.
Para explicar o infinitamente pequeno, Yang e Mills tentaram descrever partículas elementares ao construir um modelo baseado em teorias geométricas. A sua teoria de que algumas partículas quânticas têm uma massa positiva foi verificada por muitas simulações de computador. Mas, mesmo com as descobertas dos dois físicos, ainda não existe uma prova técnica e científica dos dados encontrados.
P=NP
O desafio deste problema do milénio é certamente o mais importante de todos. Isto porque a sua resolução seria, certamente, seguida pela de outros, enquanto o contrário, outros problemas a serem decifrados, implicaria simplesmente que os restantes permaneceriam sem resolução… Parece muito complexo, certo?
Nós explicamos! Em P=NP, P é o problema de encontrar uma lista de elementos num determinado conjunto. E como está diretamente ligado ao funcionamento de computadores e algoritmos, este problema poderia literalmente ser traduzido pela seguinte pergunta: podemos encontrar diretamente através do cálculo inteligente o que podemos confirmar quando já sabemos as respostas?
Será que seria capaz de responder a esta pergunta ainda sem solução?
O Teorema de Ramsey
O teorema de Ramsey está relacionado com a procura de ordem e modelos dentro dos sistemas. De acordo com esta teoria, não existe desordem completa.
Vejamos um exemplo: se tivermos x pontos sobre uma folha de papel e cada ponto estiver ligado a todos os outros pontos com uma linha vermelha ou azul, x tem de ser igual a 6 para ter a certeza da presença de, pelo menos, um triângulo azul ou vermelho. Correto?
Ou de uma forma mais simples: quão grande tem que ser um grupo que tem pelo menos três membros estrangeiros e três deles se conhecem anteriormente. A resposta tem que ser 6. No entanto, note que, se alterarmos o número três por quatro, o problema é impossível de ser resolvido. Ou, pelo menos, nenhum matemático o conseguir resolver até hoje em dia.
Através de um cálculo, será que teria a capacidade de encontrar a fórmula certa?
Os Números de Lychrel e Palíndromos
Para perceber o que é um número de Lychrel, é preciso entender primeiro a definição de palíndromo. Os palíndromos podem assumir a forma de uma frase ou um número e são escritos da mesma maneira em ambas as direções. Por exemplo, 17371 é um número palíndromo. O nome Hannah também é considerado um palíndromo.
Quando se adiciona consecutivamente um palíndromo com o seu inverso e o resultado não forma um número de palíndromo, temos um número de Lychrel.
Por exemplo, 59 não é um número Lychrel, porque:
59 + 95 = 154
154 + 451 = 605
605 + 506 = 1111
São precisas várias tentativas para formar outro palíndromo! Mas aquilo que fascina verdadeiramente os académicos e investigadores é que o número mais pequeno sem palíndromo é o 196. Mesmo depois de mais de doze milhões de adições repetidas (feitas com sistemas de programação, é claro), ainda não encontramos um número palíndromo de 196!
Está pronto para continuar esta pesquisa?
Antes de poder solucionar qualquer um destes problemas relacionados com álgebra, geometria ou física, terá que adotar uma abordagem sólida nos seus estudos de matemática e mergulhar no universo científico da disciplina.
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A origem da matemática
A palavra matemática, tal como muitas outras no nosso léxico, tem origem grega. Origina de μάθημα (mátema) que significa “ciência, conhecimento, ou aprendizagem” e μαθηματικός (matematikós) que pode ser traduzido como a "fundação da aprendizagem".
Tendo isto em mente, podemos dizer que a matemática é a "ciência das grandezas e das formas no que elas apresentam de calculável e mensurável, isto é, que determina as grandezas uma pelas outras, segundo relações existentes entre elas." É um conceito bastante básico, extraído do dicionário da língua portuguesa.
Acredita-se que a matemática tenha origem por volta de 2.500 a.C., tendo surgido das necessidades humanas básicas do homem primitivo, que precisava de realizar um número variado de cálculos com ossos, pedras e até mesmo dos dedos da mão.
Era com essas medições que controlava as suas atividades, uma vez que na altura não existia ainda um processo económico já desenvolvido. Foi este caráter de aplicabilidade tão prática da matemática que a tornou uma disciplina em desenvolvimento, à medida que o ser humano também se desenvolvia, deixando de ser um mero coletor dos recursos do meio ambiente que lhe eram próximos, para passar a ter o papel de agricultor e plantador.
Ao longo do tempo, a matemática foi-se tornado um instrumento essencial para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem da mesma. E uma ciência não fundamental apenas nessa esfera, mas em praticamente todas as áreas do conhecimento humano.
Devido à sua forte presença no quotidiano da humanidade, a matemática foi ganhando popularidade na Mesopotâmia, no Egito, na Grécia, na Índia e no Médio Oriente. Em seguida, intensificou-se na Europa a partir do período do Renascimento, época que também coincidiu com as descobertas científicas como o astrolábio, a bússola e os Descobrimentos.
As descobertas da matemática têm sido de enorme importância para o crescimento e desenvolvimento da humanidade e contribuem para o entendimento de situações e problemas nos quais se encontra envolvida, como veremos a seguir.
A importância da matemática no dia a dia
É só nos lembrarmos de todas as vezes em que utilizamos ou nos valemos da matemática para percebermos o quão fundamental esta disciplina é, e o quão presente está nas em nossas vidas. Como já dissemos, a matemática está presente em todas as profissões e também em todas as áreas da educação.
Por outras palavras, o ensino da matemática é essencial para uma formação humanística, e o currículo escolar deve fornecer uma formação sólida na área, o que nem sempre acontece. Além disso, o ensino da matemática também é importante porque apresenta elementos enriquecedores do pensamento e da lógica matemática na formação intelectual do aluno.
Nessa formação, encontramos atributos como a exatidão do pensamento lógico-demonstrativo que a mesma exibe, seja pela execução criativa da intuição, da imaginação ou dos raciocínios indutivos e dedutivos. É através da matemática que o aluno começa a desenvolver o poder do raciocínio, oferecendo-lhe uma visão aproximada das situações com que lida no dia a dia. E não apenas isso, também desenvolve uma sensibilidade expressiva e uma sensibilidade estética e da sua imaginação.
É um grande desperdício quando o aluno apenas aplica fórmulas sem as compreender de forma adequada. Na maioria dos casos, os alunos decoram determinadas fórmulas e aplicam-nas à resolução dos exercícios sem as tentar entender. Escusado será dizer que isso não leva a lado nenhum. Até porque, quando o aluno sente que não domina os conteúdos, não adianta tentar decorar fórmulas ou quaisquer outras artimanhas. É essencial que o aluno perceba o porquê de aplicar aquela fórmula específica e não outra.
Um professor experiente tem isso em consideração e propõe uma atmosfera mais casual. O profissional estimula a necessidade de conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula com a disciplina. Por outras palavras, existem diversos métodos e técnicas que podem ser utilizadas pelo docente na sala de aula para exemplificar e transmitir aos alunos os assuntos relacionados com a matéria, desde dinâmicas de grupo onde se podem trabalhar metodologias contextuais a problemas mais complexos, que exijam um grau maior de abstração matemática.
As aulas de hoje em dia, no entanto, nem sempre contribuem para a transmissão apropriada deste conhecimento. Na maioria das vezes, as salas contam com um número demasiado alto de alunos a ocupar um espaço físico restrito. Outra questão são os quadros e os materiais, que nem sempre são de boa qualidade ou estão presentes em quantidade adequada.
A matemática é uma das disciplinas mais essenciais ao desenvolvimento humano e tem contribuído de uma forma extraordinária na nossa evolução e história no planeta. Praticamente nenhuns dos pequenos, médios ou grandes avanços tecnológicos seriam possíveis sem a matemática.
E quando falamos na aplicabilidade da matemática, temos vários exemplos da nossa realidade quotidiana. Ao realizarmos compras no supermercado, podemos ir somando mentalmente o quanto vamos gastar no total ou calcular o troco, se houver. Já nas lidas da casa, ao seguirmos uma receita também estamos a aplicar certos conceitos matemáticos relacionados às unidades, peso e massa. Outro bom exemplo é poder calcular quanta gasolina o nosso carro vai gastar numa viagem e o valor que isso terá, ou seja, quanto é que vai custar cada percurso realizado.
Desta forma, considerar a matemática uma ciência de fundamental importância para a nossa vida individual e coletiva é um simples facto. E ainda contribui para o desenvolvimento do nosso sentido crítico, trabalhando o nosso raciocínio lógico de acordo as exigências que surgem nas tarefas que temos que realizar diariamente. Podíamos pedir melhor?
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