Podemos afirmar com certeza que Euclides foi um dos maiores pensadores da história da matemática, e foi responsável por um dos livros matemáticos mais marcantes de todos os tempos. O trabalho deste matemático na geometria plana, com triângulos, linhas paralelas, propriedades do círculo e aritmética, permitiu a descoberta da utilização dos números primos no máximo divisor comum (MDC) e no método de subtrações sucessivas repetidas, hoje conhecidos simplesmente como divisão euclidiana.
É inegável que o seu conhecimento invadiu o mundo da matemática da época e foi absorvido pelas civilizações que o sucederam. Euclides influenciou o mundo da ciência até os dias atuais, de Copérnico a Kepler, de Galileu a Newton, passando por Spinoza e Bertrand Russel.
Neste artigo, vamo-nos concentrar no tema da obra de Euclides que é responsável pela sua fama internacional, a divisão euclidiana, um conceito de matemática, que está presente desde os níveis mais básicos até aos estudos de programação mais complexos.
Explicações de matemática e a definição e princípios da divisão euclidiana
A divisão euclidiana, também conhecida como divisão inteira ou divisão com resto, é um tema essencial dos exercícios de aula de matematica do 1º ciclo, no início da aprendizagem, mas nem sempre é dominado logo nas primeiras aulas e leva muitos alunos a recorrer às explicações.
O nome pode ser desconhecido, mas o cálculo não é. Esta é a operação que permite começar com dois números inteiros, o dividendo e o divisor, e associar outros dois, o quociente e o resto. Todos os números inteiros podem ser divididos por um número diferente de zero (≠ 0) e ter como resultado um quociente e um resto, onde o resto é sempre menor que o divisor.
Este algoritmo é ensinado como uma das quatro operações básicas da matemática e é introduzido no currículo escolar dos alunos nas aulas de matemática do 1º ciclo, mantendo-se presente até ao ensino secundário. Para que os alunos consigam compreender a lógica da divisão, o conceito é apresentado com vários cenários possíveis, que explicam como se faz a divisão.
Desta forma, os alunos aprendem a fazer uma divisão de um número por outro e a colocá-la por escrito. Esta etapa do ensino de matemática envolve dominar ou saber as tabelas de multiplicação de cor, mas também as regras básicas de cálculo, como adição e subtração. Ter formação da técnica de divisão permite conseguir encontrar todos os divisores de um número sem precisar de uma calculadora.
Depois do conceito base estar consolidado, os alunos passam para o próximo nível, que inclui saber analisar e realizar uma divisão de decimais e de cálculo fracionário. Por outras palavras, perceber que fazer uma divisão euclidiana também é distribuir de forma justa uma quantidade "n" entre várias entidades. É normalmente aí que precisam das explicações particulares com um professor de aulas de matemática online.
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Resolver uma divisão euclidiana com um explicador de matemática
O método de subtração do algoritmo euclidiano permite simplificar uma operação complexa. Aliás, a magia da matemática é mesmo essa, tornar um processo que para impossível, possível. Mas como é que podemos fazer uma divisão sem usar a calculadora?
Durante as aulas de matemática vai aprender a fazer a divisão passo a passo, com o dividendo numa coluna e o divisor na outra. Mas para ajudar na formação, vamos mostrar um método alternativo. Isto porque, com algumas regras simples, podes detetar rapidamente se um número é divisor de outro, através da aritmética modular. Desta forma, um número é divisível por:
- 2 se o dígito das unidades for par, isto é: 0, 2, 4, 6 ou 8;
- 4 se o número formado pelos dois últimos dígitos for divisível por 4;
- 5 se o dígito das unidades for 0 ou 5;
- 3 se a soma dos dígitos que a compõem for divisível por 3;
- 9 se a soma dos dígitos que a compõem for divisível por 9;
- 10 se o dígito das unidades for 0.
Esta área parece muito básica mas é fundamental na educação de um aluno, em conjunto com a geometria e muitos mais.
Encontrar o máximo divisor comum com ajuda de um professor de matemática
O Máximo Divisor Comum (MDC) de dois números inteiros diferentes de zero é um princípio básico da aritmética elementar, que permite encontrar o número maior que os divide simultaneamente. Basta fazer a lista de todos os divisores desses números.
Por exemplo, qual é o MDC de 20 e 36?
- 20 tem como divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20;
- 36 tem como divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Portanto, o MDC de 20 e 36 é 4, o valor mais alto entre os valores comuns. Vejamos outro exemplo, os divisores comuns de 36, 48 e 60 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Desta forma, o MDC (36, 48, 60) = 12. Também podem ser utilizados outros dois outros métodos, o método das subtrações sucessivas e a divisão euclidiana. Para calcular o MDC de 116 e 78, por exemplo:
- Por subtrações sucessivas: 116 - 78 = 38, 78 - 38 = 40, 40 - 38 = 2, 2-2 = 0. MDC (116; 78) = 2;
- Com o método de Euclides: 116 = 78 x 1 + 38, 78 = 38 x 2 + 2, 38 = 19 x 2 + 0. MDC (116; 78) = 2.
O princípio é o mesmo para os dois métodos, subtraímos um número do outro tantas vezes quantas pudermos e vemos qual é o resto.
Está a precisar de refrescar os conhecimentos de álgebra? Porque não fazer explicações de matemática com um explicador?
Definição do algoritmo euclidiano nos cursos de matematica
A ideia base do algoritmo euclidiano é que o MDC pode ser calculado recursivamente, utilizando o resto da divisão como entrada para o próximo passo, que é baseado na propriedade do MDC: MDC (a,b) = MDC (b, r) onde r é o resto da divisão de a por b.
Isto significa que o resto da divisão será utilizado como entrada para o passo seguinte. E, como já sabemos, o resto pode ser calculado pela equação: r = a - bq, onde q = a/b, que é uma divisão inteira. Neste sentido, podemos substituir as variáveis para obtermos uma sequência lógica, usando a = r k-1, b = rk e r = r k+1, temos a seguinte sequência: r k+1 = rk-1 - r kq.
Parece muito complicado? Peça ajuda a um explicador com formação e experiência nas ciências da matemática, para lhe dar explicações sobre esta teoria e outras funções matemáticas. Com explicações particulares, vai ficar um ás a matemática num instante.
Aulas de matemática e a história da divisão euclidiana
Como mencionamos, o algoritmo de Euclides, também conhecido como divisão euclidiana, é um dos algoritmos mais antigos da área da matemática. É formulado para números inteiros, ou seja, números reais, um conceito que ainda era desconhecido na época de Euclides. No entanto, muitos estudiosos afirmam que o algoritmo não foi inteiramente concebido por Euclides, uma vez que compila resultados de matemáticos importantes que lhe antecederam, como Pitágoras e Aristóteles.
De qualquer das formas, vários séculos mais tarde foi reinventado, de forma independente, na Índia e na China, para ajudar a resolver equações diofantinas (um tipo de equação polinomial que permite que duas ou mais variáveis assumam valores inteiros), que surgiram no campo da Astronomia, como forma de desenvolver calendários mais precisos. Devido à sua eficácia na resolução destas equações, a popularidade do algoritmo cresceu e continua a ser uma parte importante da educação e formação dos alunos, desde o 1º ciclo ao ensino superior.
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Aplicações contemporâneas da divisão euclidiana
Depois de demonstrar a sua importância, o algoritmo de Euclides foi generalizado para outras estruturas da matemática, como os nós e polinómios multivariados. Desta forma, possui muitas aplicações teóricas e práticas importantes e pode ser utilizado para gerar várias aplicações tradicionais que são utilizadas em diferentes culturas pelo mundo inteiro.
O algoritmo é um elemento-chave dos algoritmos tipo RSA, um método de criptografia utilizado no comércio eletrónico. Também pode ser utilizado para resolver equações diofantinas, como já mencionamos, bem como na descoberta de números em múltiplas congruências ou do inverso multiplicativo de um número finito.
Além disso, pode ser utilizado para construir frações contínuas e para descobrir raízes reais num polinómio. Por último, é uma excelente ferramenta para o teorema de Fermat-Lagrange e no teorema fundamental da aritmética.
Reforçar a aprendizagem da divisão euclidiana com explicações matemática online
De forma resumida, o algoritmo euclidiano é fundamental para muitas das operações da aritmética, uma vez que é um método simples e eficiente de encontrar o máximo divisor comum entre quaisquer dois números inteiros diferentes de zero. Faz parte da história da matemática e o somatório das suas aplicações tornaram-no um dos algoritmos mais relevantes da matemática.
No entanto, sabemos que, mesmo depois de dezenas de aulas de matemática desde o 1º ciclo até ao ensino secundário, pode ser difícil aplicar os cálculos no dia a dia. Mas há uma solução! Basta procurar por professores particulares que possam dar uma ajuda, a explicar os diferentes métodos como pode fazer e resolver uma divisão. Com as tecnologias disponíveis hoje em dia, pode fazê-lo de forma presencial ou online.
Claro que pode optar por procurar por materiais e vídeos online, com explicações dos conceitos mais importantes de matemática, mas não serão tão eficazes. É importante escolher uma opção com qualidade, e isso inclui o conteúdo e o método de ensino.
Portanto, deve procurar por um professor de matemática com experiência e com a metodologia adequada para o poder auxiliar com os estudos. Durante as aulas particulares, o explicador irá garantir que cada aluno esclarece todas as dúvidas destas ciências, e criar um plano de estudos personalizado, com avaliações constantes para monitorizar o progresso escolar. Se for um dos alunos que realiza exame de matemática no final do ensino secundário, o explicador também pode auxiliar na preparação para esse exame e até para os exames de outras disciplinas.
Pode fazer listas de exercícios que não consegue resolver e conteúdos que não compreende para estudar nas explicações e terá o apoio do explicador para o conseguir. Na matemática só se aprende com a prática e treinando o raciocínio, caso contrário a aprendizagem nunca fica consolidada. As explicações particulares são uma ótima forma de o fazer.
Não hesite em refazer exercícios e pedir para ter mais aulas se os bloqueios e as dificuldades não desaparecerem. A experiência do professor de matemática será uma enorme mais-valia para conseguir evoluir na sua educação.
E agora, já se sente pronto para realizar qualquer divisão? Prometemos que é mesmo muito simples, basta começar!
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