A aritmética (que tem origem da palavra grega arithmós, que significa número) é o ramo mais elementar e antigo da matemática e lida com as operações possíveis entre os números. As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, as quatro operações matemáticas mais elementares. Mas também é a área utilizada para fazer operações mais avançadas (como as manipulações de percentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas).
Como tal, é uma área da matemática que é utilizada por toda a gente, em vários momentos do quotidiano, mesmo que não trabalhem numa profissão que envolva diretamente a matemática. Isso quer dizer que é essencial que tenha conhecimento destas operações e como funcionam. Com a adição e subtração acreditamos que não tenha problemas. Mas e com as operações mais complexas? Será que as resolve com facilidade?
Se a resposta é não, este artigo é para si! Continue a ler para descobrir o que é um intervalo matemático, como o calcular e muitas mais informações necessárias para melhorar o seu conhecimento de matemática.
Pode ter explicações de matemática online ou presenciais para dominar esta disciplina.
O que é um intervalo?
Um intervalo matemático é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos, podendo ou não conter os próprios extremos. Isto quer dizer que podemos representar conjuntos, subconjuntos e soluções de equações com a notação de intervalo. A verdade é que é impossível definir a quantidade de elementos presentes entre um valor e outro, uma vez que existem números infinitos que se encaixam entre os extremos. Por isso, em termos matemáticos, foi necessário criar um sistema representativo que facilitasse a escrita de um intervalo real. Em retas ou escrita extensa, é possível delimitar valores reais e descrever infinitos.
No entanto, o conjunto apenas possui os números reais entre os dois extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente. Não é possível representar subconjuntos ou conjuntos que não sejam reais (ou contidos nos reais) pela notação de intervalo. Por outro lado, os extremos podem ser números reais como também podem ser infinitos. Existem divergências sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo. Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção.
Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles.
Para que consiga perceber exatamente quais são os números reais, vamos esclarecer exatamente que conjuntos numéricos existem.
Descubra como fatorar em matemática.
Números naturais (lN)
No grupo dos números naturais, a contagem começa em zero e vai aumentando uma unidade, sem incluir elementos negativos: lN = {0,1,2,3,4,5…}.
As reticências no final da notação representam a infinidade de números naturais que podem ser encontrados na matemática. Além disso, quando um asterisco é adicionado ao símbolo do conjunto, o valor zero é excluído da sequência: lN* = {,1,2,3,4,5,6,7…}.
Números inteiros (Z)
Para chegar ao conjunto dos números inteiros, basta adicionar os elementos negativos ao grupo dos números naturais: Z = {…-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4…}. Neste conjunto, as reticências aparecem tanto no lado negativo como no lado positivo do conjunto, de forma a representar a infinidade de valores acima e abaixo de zero.
A forma como o símbolo Z é representado também delimita a parte do conjunto que deseja obter:
- Números inteiros não nulos: Z* = {…-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4…};
- Números inteiros positivos: Z+ = {0,+1,+2,+3,+4…};
- Números inteiros positivos e não nulos: Z*+ = {+1,+2,+3,+4…};
- Números inteiros negativos: Z–= {…-3,-2,-1,0};
- Números inteiros negativos e não nulos: Z*– = Z–= {…-3,-2,-1}.
Números racionais (Q)
Todos os números que podem ser expressos em forma de fração (m/n) fazem parte do conjunto dos números racionais, desde que m e n sejam inteiros, com n≠0.
Estão incluídos nos números racionais os valores fracionários, dízimas periódicas, naturais e inteiros. A notação segue o mesmo padrão dos conjuntos anteriores: Q = {…-1,- 1⁄2, 0,+½,+1,+3/2…}.
Números irracionais (Ⅰ)
Os números irracionais são as dízimas não periódicas e infinitas. Os principais representantes deste conjunto numérico são o número pi () e as raízes não exatas, como √5,√7, entre outras.
Para conseguir diferenciar os números racionais dos irracionais é importante saber que as dízimas periódicas repetem-se após uma determinada sequência numérica após a vírgula. Por exemplo ⅓=0,333…, com a repetição do número “3”, ou 7,152415241524, em que a sequência numérica se repete nos decimais.
Por outro lado, as dízimas não periódicas e irracionais não possuem uma repetição sistemática de valores decimais. No caso de pi, por exemplo, o valor é obtido através da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro p/d = = 3,14159265358979 e assim sucessivamente, sem que exista uma sequência repetida nos dígitos já estudados até hoje.
Números reais (lR)
Por último, o conjunto dos números reais representa a união de todos os grupos numéricos referidos acima.
Descubra também como calcular o quociente de uma divisão.
Como escrever na forma de um intervalo?
Como mencionamos anteriormente, não é possível representar subconjuntos ou conjuntos que não sejam reais (ou contidos nos reais) pela notação de intervalo. Como podemos então representar um intervalo?
Imaginemos, por exemplo, que o conjunto A é um subconjunto dos números naturais e que será representado por A={x∈N:1<x<2}. Não se deve esquecer que qualquer elemento de A pertence ao conjunto dos naturais, no entanto, nos números naturais não existem números entre 1 e 2, ou seja, em ℕ não existe o número 1,5 , por exemplo. Por isso, neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio. E será representado por A=∅.
Logo, não é correto dizer que A = ]1,2[. A não é um subconjunto dos números reais, por isso nem todos os números possíveis estão no intervalo. Mas, se A fosse um subconjunto dos reais, poderíamos dizer que A={x∈R:1<x<2}=]1,2[, por exemplo.
Mas como também já referimos, existem diversos tipos de intervalos, dependendo se incluímos ou não os seus extremos. Seguem-se os diferentes tipos de intervalos existentes e como representar cada um deles.
Intervalo aberto
Dizemos que um intervalo é aberto quando os seus extremos não estão incluídos. Por exemplo: ]a,b[={x∈R:a<x<b}.
O intervalo também é aberto quando indicamos apenas um dos extremos e o outro pode ser uma infinidade de elementos à direita (+∞) ou à esquerda (−∞). Ou seja:
- ]a,+∞[={x∈R:x>a};
- ]−∞,a[={x∈R:x<a}.
Em todas as ocasiões em que um extremo for uma infinidade de elementos, este sempre será sempre considerado um extremo aberto.
Intervalo fechado
Um intervalo fechado é um intervalo onde os seus extremos são incluídos. Por exemplo: [a,b]={x∈R:a≤x≤b}.
Intervalo semiaberto
Dizemos que um intervalo é semiaberto (ou semifechado) quando apenas um dos seus extremos é incluído, ou seja:
- [a,b[={x∈R:a≤x<b};
- ]a,b]={x∈R:a<x≤b}.
Também podemos assumir que, se um intervalo é um subconjunto dos números reais, é possível realizar algumas operações entre intervalos, tais como união e interseção de intervalos. Supondo que tenhamos dois intervalos: [a, b] e [c, d] e que d > c > b > a. A união dos intervalos será dada por: [a,b]∪[c,d]={x∈R:a≤x≤b ou c≤x≤d}.
Sabe o que é um algoritmo matemático?
Como resolver um intervalo?
Calcular um intervalo pode parecer complicado, mas até é bastante simples. Para o conseguir fazer, basta apenas que tenha atenção aos sinais matemáticos de cada intervalo, o que contém um conjunto, o que faz parte do conjunto ou o que está excluído.
A intersecção (∩) dos intervalos [a; b] e [c; d] é o conjunto x de números reais incluídos em [a; b] e [c; d]. Sendo a, b, c e d quatro inteiros positivos de modo, a intersecção (I) entre os dois intervalos pode ser escrita de duas maneiras equivalentes:
- I = [a; b] ∩ [c; d];
- I = [c; d] ∩ [a; b].
Para determinar a interseção de dois intervalos, deve representar um conjunto numa linha real. Desta forma, poderá ver diretamente como cada elemento está posicionado e o que é comutativo, ou seja, os elementos que formam o conjunto.
No caso de existir uma desigualdade a calcular (> ou <), deve ter em conta que o conjunto de solução de uma desigualdade é sempre um intervalo ou um conjunto vazio. Uma desigualdade de x desconhecido pode ser representado por A (x) ≤ B (x) ou A (x) <B (x), onde x é uma variável desconhecida.
Para resolver a equação terá que encontrar todos os valores de x capazes de satisfazer a desigualdade, esse conjunto de valores é o conjunto de soluções da equação. Dizemos que duas desigualdades são equivalentes quando têm o mesmo conjunto de soluções. Existem várias formas de o fazer e de conseguir encontrar desigualdades equivalentes.
Pode adicionar ou subtrair o mesmo número diferente de zero em ambos os elementos, ou seja, se a≤b, então a + c≤b + c. Pode multiplicar ou dividir os dois elementos pelo mesmo número positivo diferente de zero ou multiplicar ou dividir os dois elementos pelo mesmo número negativo diferente de zero. Ou então, pode adicionar duas desigualdades com o mesmo significado, ou seja, se a≤b e c≤d, então a + c≤b + d.
Encontre explicadores de matematica na Superprof!
Gostou deste artigo? Deixe a sua avaliação!
Loading...
