A divisão é uma das quatro operações básicas da matemática e é a operação diretamente inversa à multiplicação. A divisão de um número consiste no seu fracionamento, que pode ter como resultado um número inteiro ou um número decimal.
Tal como as outras operações fundamentais da matemática, a divisão está presente em vários momentos do nosso dia a dia e, por isso, é essencial que compreenda bem o processo e saiba como fazer o cálculo sem problema. Mas sabemos que isso nem sempre é fácil. A aula de matemática da escola nem sempre chega para consolidar os conceitos da divisão e, mesmo aqueles alunos que dominam a matéria, acabam por se esquecer de tudo mais tarde.
Para ajudar a perceber exatamente como se resolve uma divisão e como calcular o seu resultado, criamos este guia. Basta continuar a ler para descobrir como o fazer e outras informações necessárias para melhorar o seu conhecimento de matemática. Se precisar de explicações de matemática online ou presenciais, um professor particular pode ajudar-lhe a dominar esta disciplina tão temida.
Lembrete: qual é o quociente da divisão?
A divisão é uma operação feita entre dois números para obter um resultado. Cada elemento da divisão tem um nome e utilizamos um algoritmo para conseguir completar os cálculos. Nesse algoritmo, os elementos são conhecidos como dividendo (D), divisor (d), quociente (q) e resto (r), sendo que cada um deles tem uma grande importância para se compreender a operação.
O número (N) que será dividido é o dividendo (D), o número pelo qual o dividendo vai ser dividido é o divisor (d), o resultado dessa divisão é o quociente (q), e o que restar na divisão (r) é o resto. Quando queremos dividir um número por outro, ou seja, D por d, devemos tentar encontrar um quociente que multiplicado por d seja igual ao D.
Desta forma, este algoritmo da divisão pode ser representado por dividendo = divisor x quociente + resto, no que é conhecida como a Relação Fundamental da Divisão. Sempre que aplicamos este principio, podemos descobrir o valor do dividendo, desde que se conheçam os restantes valores.
No entanto, nem sempre é possível encontrar imediatamente o quociente e, em alguns casos, a multiplicação dos valores de d por q apenas fica muito próxima de D. Nessas situações, a diferença entre D e o resultado da multiplicação de d por q é o resto (r). Quando o resto não existe, ou seja, quando r = 0, dizemos que o número D é divisível por d. Caso contrário, D não é divisível por d.
Propriedades da divisão
Para que consiga realizar os cálculos com sucesso e resolver uma divisão, é essencial que conheça as suas propriedades. Até porque ainda que utilizemos a multiplicação para resolver uma divisão, as propriedades que são válidas para a primeira não são válidas para a segunda, na maioria dos casos.
A divisão não é comutativa
Ao contrário da multiplicação, a divisão não pode ser comutativa, uma vez que a ordem em que a operação é feita é importante, ou seja, a:b ≠ b:a. É muito fácil de perceber porquê, uma vez que 10:2 não é a mesma coisa que 2:10.
A divisão não é associativa
A propriedade associativa significa que, ao dividir a:b:c, desconsiderando a ordem, o resultado é o mesmo. Ou seja, (a:b):c teria o mesmo resultado que a:(b:c), o que não acontece na divisão. Vejamos por exemplo:
- (12:6):2 = 2:2 = 1
- 12:(6:2)= 12:3 = 4
Como podemos comprovar, os resultados são diferentes, portante, a divisão não é associativa.
Existência de um elemento neutro
A divisão possui um elemento neutro, o número 1. Ao realizar um divisão, sabemos que um número dividido por 1 é ele mesmo. Por exemplo: 4:1 = 4.
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Como calcular o quociente de um número inteiro?
Ao concluir a divisão de um número inteiro (A) por outro número inteiro (B), consegue encontrará o quociente e o resto, se este existir. E o processo para realizar uma divisão qualquer é simples. Basta procurar na tabuada do divisor uma boa aproximação para o dividendo. Lembre-se que o número deve ser o mais aproximado do dividendo que for possível, podendo ser menor ou igual, mas nunca maior.
Depois de encontrar o multiplicador para o divisor, deve perceber se existe resto ou não. Quando o resto da divisão de A por B for zero, ou seja, igual a zero, podemos concluir que A é divisível por B, que A é um múltiplo de B e que B é um divisor de A. No caso de não ser, a operação ainda não está concluída.
Parece complicado? Vejamos um exemplo, 60:5. Para resolver a operação, temos que descobrir um número que, multiplicado por 5, seja igual ou chegue o mais próximo possível de 60. Através dos critérios de divisibilidade, sabemos que números terminados em 0 são divisíveis por 5. Assim, 12x5 = 60, logo, 60:5 = 12. Chegamos à conclusão de que o resto da divisão é o número zero, ou seja, a divisão foi finalizada e é exata.
Mas e se o resto da divisão não for 0? Vejamos o exemplo de 35:2. É necessário descobrir um número que, multiplicado por 2, seja igual a 35 ou chegue o mais próximo possível. O mais próximo é 17, uma vez que 17x2 = 34. No entanto, isso quer dizer que o resto dá um número diferente de zero e é necessário continuar a divisão.
Agora temos que dividir o resto da divisão pelo divisor, ou seja, dividir o número 1 por 2. Mas como o número 1 não é divisível por 2, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e acrescentar um zero no resto, passando a 17, e 10. Agora continuamos a divisão normalmente. Temos que imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 10. Sendo que 5x2 = 10, acrescentamos 5 a seguir à virgula. Chegamos assim a um quociente de 17,5, e a zero como resto do cálculo, finalizando a divisão.
Os critérios de divisibilidade são regras da operação que ajudam a resolver as divisões, principalmente se estiver a fazer um cálculo mental. Se os conhecer, terá muito mais facilidade a resolver uma divisão. Deve ter em conta que um inteiro positivo é divisível por:
- 2 se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8;
- 3 se a soma dos seus dígitos for um múltiplo inteiro de 3;
- 4 se o número formado pela combinação dos dois últimos dígitos for um múltiplo de 4;
- 9 se a soma dos seus dígitos for um múltiplo de 9;
- 5 se terminar em 0 ou 5;
- 10 se terminar em 0;
- 100 se terminar em 00.
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Como calcular um quociente decimal?
O resultado de uma divisão nem sempre é um número exato, mas isso não quer dizer que não está resolvida. Uma divisão não exata tem como resultado um quociente decimal e, para a resolver, é realizado um processo semelhante ao que mencionamos anteriormente.
No entanto, sabemos que muitas pessoas têm grandes dificuldades de resolver divisões que apresentam um quociente inteiro. Quando é necessário calcular a parcela do resto da divisão que cada indivíduo obterá, o que origina um resultado decimal, muitas delas acabam por desistir do cálculo mental e optam por usar uma calculadora. Mas as calculadoras nem sempre estão disponíveis, e pode ser necessário fazer a conta de cabeça. Por isso, vamos ensinar a calcular um quociente decimal.
Na divisão, existem duas situações em que terá que utilizar a vírgula: quando o quociente não é um número inteiro ou quando o dividendo e o divisor não são inteiros. Vamos ver como resolver cada um desses casos.
No primeiro caso, o quociente não é um número inteiro quando os números não são divisíveis, ou seja, o resto da divisão é um número diferente de zero. Para realizar a divisão, devemos seguir o mesmo passo a passo de anteriormente. Depois, quando o resto for um número que já pode mais ser dividido, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e um zero na casa das unidades do resto.
No segundo caso, onde o dividendo e o divisor não são inteiros, é necessário eliminar a vírgula do dividendo e do divisor.
Para que isso possa ocorrer, deve-se andar a mesma quantidade de casas decimais tanto no divisor como no dividendo. Isto é possível uma vez que a divisão é nada mais do que uma fração em que o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. Desta forma, podemos multiplicar o dividendo e o divisor por potências de 10, que é o equivalente a andar casas decimais. Depois, basta resolver a operação da mesma forma que já demonstramos.
No entanto, deve ter em conta que, às vezes, a divisão não tem fim. Nestes casos apenas será possível obter apenas um valor aproximado do resultado, um arredondamento.
Resumindo, para conseguir realizar uma divisão e obter um resultado decimal relevante deve:
- Resolver a operação normalmente até obter um resto menor que o divisor;
- Adicionar uma vírgula ao quociente e um zero ao resto (como se o resto tivesse sido multiplicado por 10) e continuar a dividir até estar completa.
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Como transformar um quociente num produto?
Agora que que já explicamos como calcular o quociente de um número inteiro e um quociente decimal, já deve ser bastante percetível que a divisão é principalmente um problema de multiplicação. Como explicamos, para ser capaz de identificar facilmente os quocientes, é essencial dominar as tabuadas e, consequentemente, conhecer bem o produto dos números.
Se multiplicarmos o produto dos fatores por um número, o produto também poderá ser multiplicado pelo mesmo número. Portanto, não alteramos o valor de um quociente quando multiplicamos ou dividimos o dividendo e o divisor pelo mesmo número.
Veja, por exemplo, A, B e C. Se multiplicarmos A pelo quociente de B por C, teremos um resultado igual a um quociente cujo numerador é o produto AxB e um denominador igual a C.
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