Fazemos pequenas contas de matemática todos os dias. Pequenas somas, divisões e multiplicações, integradas em tarefas comuns do dia a dia, muitas vezes sem sequer nos apercebermos de que o estamos a fazer. No trabalho, no supermercado ou às compras, são diversas as situações em que temos que ser capazes de fazer contas de cabeça.
Mas, para a grande maioria de nós, a matemática não é algo que consigamos usar com facilidade. Sim, somos perfeitamente capazes de completar operações simples, mas quando a quantidade de números começa a aumentar, vamos imediatamente atrás de uma calculadora. E nem sequer pensar em tentar resolver equações com letras e outros processos complexos.
Por isso, são poucas as pessoas que continuam os seus estudos de matemática e que tentam resolver operações complexas. Mas e se existisse uma forma de simplificar os cálculos que tornasse mais fácil resolver uma expressão algébrica?
Fique a conhecer a fatorização, como é que pode aprender a fatorar, em que situações pode ser aplicada e outras informações necessárias para melhorar o seu conhecimento de matemática.
Introdução: o que é fatorização?
Fatorar uma expressão algébrica ou um polinómio significa transformar a expressão algébrica ou o polinómio, num produto de fatores irredutíveis.
De uma forma simples, a fatorização consiste em escrever uma expressão algébrica em forma de produto. Em casos práticos, isto é, na solução de alguns problemas que envolvem expressões algébricas, o processo é extremamente útil, uma vez que, na maioria das situações, simplifica a expressão com que está a trabalhar.
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Como fatorar uma expressão literal?
Para realizar a fatorização de expressões algébricas, utilizamos um processo importante na matemática, o teorema fundamental da aritmética, que afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos. Vejamos, por exemplo, 121. 11x11 = 121. Ou 60. 5x4x3 = 60.
Podemos fatorar um número com diversos métodos, como o fator comum ou o agrupamento, dependendo do polinómio. Mas então, como é que pode saber que método é aplicável em cada caso? Na prática, raramente lhe vão indicar qual é o tipo de método de fatorização que deve utilizar quando encontrar um problema. Por isso, é importante que saiba os passos que deve fazer para facilitar o processo e encontrar o método mais indicado.
Estas são as perguntas que deve fazer para determinar como fatorar o polinómio. Antes de começar a tentar resolver o problema, escreva a expressão na sua forma padrão. Depois, comece por tentar perceber se existe um fator comum. Se for o caso, basta colocar o máximo divisor comum (MDC) em evidência e prosseguir. Colocar o MDC em evidência é um passo muito importante no processo, uma vez que torna os números menores. Isto, por sua vez, faz com que seja mais fácil reconhecer padrões.
Se não existirem fatores comuns, deve perceber se existe uma diferença de quadrados. Se houver uma diferença de quadrados, deve fatorar a expressão utilizando o padrão a2-b2 = (a+b) (a-b).
Se não existir diferença de quadrados, deve perceber se existe um trinómio quadrado perfeito. Se um estiver presente, deve fatorar a expressão com a fórmula a2± 2ab+ b2 = (a ± b)2.
Se não existir um trinómio quadrado perfeito, deve perceber se existem fatores de c que somam b. Se a resposta for sim, utilize o método de fatorização por soma e produto. Caso contrário, a expressão não pode ser mais fatorada.
Mas ser capaz de reconhecer o método de fatorização mais indicado é apenas parte do processo. Depois de identificar o método a utilizar, ainda tem que completar a operação. Para ajudar a empregar cada um destes métodos, vamos falar mais um pouco sobre cada um deles, como se caracterizam e como os resolver.
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Fatorização de vários fatores comuns
Este tipo de fatorização é utilizado quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinómio. Para o fazer, colocamos este fator, que pode conter tanto números como letras, na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinómio pelo fator comum.
Estes são os passos que temos que seguir:
- Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinómio e letras que se repetem em todos os termos;
- Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência);
- Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinómio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Parece complicado? Vamos ver alguns exemplos!
Vejamos o caso de 12x+6y-9z. Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Por isso, colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e vamos colocar o resultado dentro dos parênteses: 12x+6y-9z = 3(4x+2y-3z).
Simples certo? Vamos complicar mais um bocadinho e fatorar 2a2b + 3a3c - a4.
Como não existe nenhum número que divida ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não podemos colocar nenhum número na frente dos parênteses. Mas a letra a repete-se em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente de a na expressão. Como tal, dividimos cada termo do polinómio por a2:
2a2 b:a2 = 2a2 - 2 b = 2b
3a3c:a2 = 3a3 - 2 c = 3ac
a4:a2 = a2
Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses é 2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2).
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Factoring com identidades notáveis
Se o polinómio não possuir um fator que se repita em todos os termos, e apenas for composto por identidades notáveis, podemos utilizar a fatorização por agrupamento. Para o fazer, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Neste tipo de fatorização, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência. Vejamos um exemplo: mx+3nx+my+3ny. Os termos mx e 3nx têm como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência: x (m+3n) + y(m+3n). Note que o (m+3n) agora também se repete nos dois termos. Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinómio: mx+3nx my+3ny = (m+3n) (x+y).
Aula de matemática: fatorando um polinómio quadrático
Quando o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos e o termo do meio é duas vezes o produto das suas raízes quadradas, temos um polinómio quadrático. Para fatorar polinómios deste tipo, representados em expressões do tipo a2 - b2, usamos o produto notável da soma pela diferença.
Desta forma, a fatorização de polinómios deste tipo será: a2-b2 = (a+b) . (a-b). Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois de calcular a raiz, basta escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Vejamos, por exemplo, 9x2-25. Primeiro, temos que encontrar a raiz quadrada dos termos: √9x2 = 3x e √25 = 5. Depois, basta escrever esses valores como produto da soma pela diferença: 9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5).
Também pode encontrar este tipo de expressão ao cubo. Os polinómios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a+b)3 ou (a-b)3. Como tal, a forma fatorada do cubo perfeito é:
- a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
- a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Para aprender a fatorar polinómios deste tipo, deve começar a calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, é necessário confirmar se o polinómio é um cubo perfeito. Se for, basta elevar ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.
Vejamos, por exemplo, x3 + 6x2 + 12x + 8. Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ x3 = x e 3√ 8 = 2. Depois, temos que confirmar se é um cubo perfeito. 3 . x2 . 2 = 6x2 e 3 . x . 22 = 12x. Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinómio, sabemos é um cubo perfeito. Desta forma, a sua fatorização é x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3.
Ainda não ficou muito claro? Vamos ver outro exemplo então: a3 - 9a2 + 27a - 27. Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3. Depois, temos que confirmar se é cubo perfeito: 3 . a2 . (- 3) = - 9a2 e 3 . a . (- 3)2 = 27a. Tal como no exemplo anterior, como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, podemos concluir que é um cubo perfeito. Desta forma, a sua fatorização será a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3.
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