Vivemos rodeados de matemáticos, um pouco como se estivéssemos na matriz de Neo (como no filme Matrix!). Quando olha para a sua casa, a posição das ruas do seu bairro, liga o seu carro ou liga a sua máquina de lavar roupa, pinta um quadro, toca piano, a matemática está em todo o lado!
Não há um objeto que não tenha sido feito com reflexões matemáticas. Desde equações complexas de vários desconhecidos, teoremas matemáticos que datam à Antiguidade, até às últimas descobertas do século XX todas tiveram influência no nosso mundo atual!
A cada nova equação matemática, surge uma inundação de questões e novas respostas sobre o nosso mundo físico. Em 2013, o autor Ian Stewart, matemático e cientista britânico de renome, publicou o livro intitulado "As 17 equações que mudaram o mundo".
E a mais pura das verdade é que fazer matemática é mudar o mundo! Se quiser perceber porque a matemática é tão importante e qual foi o impacto que cada equação matemática causou no mundo, descubra agora quais são as 10 fórmulas matemáticas mais revolucionárias da história.
O teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é, sem dúvida, um dos teoremas mais conhecidos, uma vez que é um dos princípios fundamentais da geometria euclidiana. Mesmo depois de anos sem praticar ou fazer um curso de matemática, o nome do teorema ainda deve estar na memória.
Todos o sabemos de cor, mas vamos relembrar: estabelece uma relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (os outros dois lados que formam o ângulo reto).
Matematicamente, é escrito: a² + b² = c². Aqui, "a" e "b" são as medidas dos catetos, e "c" é a medida da hipotenusa. A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo retângulo e está oposta ao ângulo reto.
Com origem em 530 a.C., é uma das bases da matemática de hoje e uma das maiores contribuições para a história da ciência. Para ter uma maior noção da sua importância, o teorema mudou totalmente a forma como vemos a geometria plana e é, hoje em dia, a base para muitos outros conceitos e fórmulas relacionadas à geometria e trigonometria.
É graças a ele que é possível e mais fácil calcular o comprimento, os ângulos e demonstrar que um triângulo é retângulo. Um conceito essencial em áreas como a arquitetura e engenharia civil.
Aprenda tudo isto e muito mais num curso de matemática! Se estiver a estudar para o 12º ano, também pode consultar as nossas explicações matemática 12o ano para um apoio extra.
Os logaritmos
Os logaritmos, popularizados por John Napier em 1610, reagrupam as funções inversas, as opostas e das funções exponenciais. São, de forma simplificada, uma ferramenta matemática que permite simplificar cálculos envolvendo potências e expoentes. O logaritmo de um número é o expoente ao qual outro número fixo, chamado base, deve ser elevado para obter o número original.
Isto significa que o logaritmo nos diz qual é o expoente que a base precisa de ter para produzir o número desejado. Por exemplo, o exponente de 3 do número 2 é 8 (8 = 2 × 2 × 2 = 23). Ou o logaritmo da base de 10 é: Log (1) = 0, log (10) = 1, log (100) = 2.
Os logaritmos têm várias propriedades úteis que facilitam a resolução de problemas matemáticos. Permitem transformar multiplicações em adições e divisões em subtrações, o que simplifica muito os cálculos. Até o desenvolvimento dos computadores, o cálculo com os logaritmos era a maneira mais comum de multiplicar grandes números.
Além de permitir calcular mais rapidamente, os logaritmos também levaram a diversas descobertas em áreas como matemática, ciências, engenharia, física, astronomia e computação, principalmente em situações que envolvem crescimento exponencial, escalas de medida e análise de dados.
Existem 3 tipos de logaritmos:
- O logaritmo neperiano é a base fundamental na análise matemática;
- O logaritmo decimal é utilizado em cálculos matemáticos;
- O logaritmo binário é utilizado na teoria da informática e para os cálculos aplicados.
Também podemos utilizar a matemática para solucionar enigmas e para jogos de cartas.
A lei da gravidade
Quem nunca ouviu falar da lei da gravidade de Isaac Newton? Lembra-se da história da maçã que caiu na cabeça do génio enquanto este admirava a lua no céu? Foi a fazer a comparação desses desses dois corpos (a lua e a maçã) que Newton pensou: porque é que a lua não cai? A resposta é evidente! Porque é retida por uma força gravitacional.
Foi assim que, em 1887, nasceu a célebre fórmula da lei da gravidade de Newton. Esta lei, que explica a força gravitacional que atua entre dois corpos com massa, é uma das leis fundamentais da física que descreve a atração entre objetos.
De acordo com a lei da gravidade, a força gravitacional entre duas massas é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Matematicamente, a lei da gravidade é expressa pela seguinte fórmula: F = G * (m₁ * m₂) / r². Aqui, F é a força gravitacional entre as massas m₁ e m₂, G é a constante gravitacional universal e r é a distância entre os centros das massas m₁ e m₂.
A fórmula descreve como a força gravitacional varia de acordo com as massas dos objetos e a distância entre eles. A força gravitacional atrai sempre os objetos um em direção ao outro, seguindo o princípio da atração universal da gravidade.
Esta lei é fundamental para a compreensão do movimento dos planetas, satélites, estrelas e outros corpos celestes. Também é aplicada em diversos contextos práticos, como o estudo dos movimentos dos corpos na Terra, o lançamento e órbita de satélites artificiais e o planeamento de missões espaciais.
A teoria da relatividade
Mesmo quem não sabe nada de matemática e de física conhece a fórmula E = mc² de Albert Einstein. Esta fórmula que ilustra a teoria da relatividade mudou completamente os códigos da física conhecidos até então. Desenvolvida no início do século XX, revolucionou a nossa compreensão do espaço, tempo, gravidade e a relação entre massa e energia.
Embora seja conhecida como uma teoria, a verdade é que são duas: a teoria da relatividade restrita e a teoria da relatividade geral.
Proposta em 1905, a teoria da relatividade restrita descreve o comportamento de objetos que se movem em relação uns aos outros em velocidades constantes. Estabelece dois princípios fundamentais: o da relatividade e da constância da velocidade da luz. Esta teoria prevê consequências notáveis, como a dilatação do tempo (o tempo passa mais devagar para um objeto em movimento rápido em relação a um objeto em repouso) e contração do comprimento (os objetos em movimento rápido são encurtados na direção do seu movimento).
Proposta em 1915, a teoria da relatividade geral é uma extensão da anterior, mas inclui a gravidade. Apresenta uma nova interpretação da gravidade como uma curvatura do espaço-tempo devido à presença de massa e energia, ou seja, a gravidade é uma consequência da geometria do espaço-tempo curvado. Tem implicações importantes, como a previsão de que a luz é desviada ao passar perto de objetos massivos e a explicação da dilatação do tempo em campos gravitacionais intensos.
Até hoje, a teoria da relatividade de Einstein é essencial para entender a origem, a estrutura e o destino do nosso universo. Foi confirmada por uma variedade de experiências e observações, e tem aplicações em várias áreas da física moderna, incluindo astronomia, cosmologia e tecnologia, como os sistemas de posicionamento global (GPS).
Esta ciência permite conhecer melhor o mundo e podemos facilmente sentir a presença da matemática no nosso quotidiano.
A teoria do Caos
O mais interessante da teoria do caos é que esta demonstra que não podemos prever com determinação o que vai acontecer. Este ramo da matemática e da física estuda sistemas complexos e dinâmicos que são altamente sensíveis às condições iniciais. Estes sistemas podem exibir comportamentos imprevisíveis e aparentemente aleatórios, embora sejam governados por equações determinísticas.
A teoria do caos é relativamente recente, uma vez que surgiu na década de 60, com contribuições de cientistas como Edward Lorenz, Benoît Mandelbrot e Stephen Smale. Desafia a ideia tradicional de que os sistemas são sempre previsíveis.
Os sistemas caóticos são caracterizados por três aspetos principais:
- Sensibilidade às condições iniciais: pequenas variações nas condições iniciais de um sistema caótico podem levar a diferenças significativas no resultado ao longo do tempo, o que torna impossível prever com precisão o comportamento de um sistema caótico a longo prazo;
- Não linearidade: os sistemas caóticos são regidos por equações não lineares, o que significa que pequenas mudanças nas entradas podem resultar em mudanças drásticas nas saídas;
- Atratores estranhos: em vez de convergir para um único estado estável, os sistemas caóticos podem exibir padrões complexos e recorrentes chamados atratores estranhos.
Embora o comportamento caótico seja imprevisível a longo prazo, a teoria do caos fornece ferramentas e técnicas matemáticas para estudar e descrever esses sistemas. Tem aplicações em diversas áreas, incluindo meteorologia, física, biologia, economia e ciências sociais. Além disso, conceitos da teoria do caos, como fractais e sensibilidade às condições iniciais, têm influenciado a arte, a música e outras formas de expressão criativa.
A ilustração mais conhecida é chamada de "efeito borboleta" que diz que "o batimento das asas de uma borboleta na Argentina pode causar um furacão ou um tornado na Ásia". Em outras palavras, as coisas mais insignificantes podem ter um impacto impensável à nossa volta ou bem longe.
Aliás, a gente pode até associar a matemática com a sedução!
A identidade de Euler
A identidade de Euler é considerada "a mais bela das equações" de matemática porque valoriza uma combinação improvável de 5 constantes matemáticas. E pergunta, porque é tão admirada? Porque envolve os números complexos e exponenciais imaginárias e utiliza 3 operações fundamentais da aritmética: adição, multiplicação e exponenciação.
As três constantes representadas são o "0" que é o elemento neutro da adição, o "1" que é o elemento neutro da multiplicação e o pi, o "e" que é a base dos logaritmos e o "i" que é a unidade imaginária, fonte de números complexos que a gente encontra nas equações de 3 incógnitas.
Nomeada em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, a identidade de Euler é, então, escrita da seguinte forma: e^(i * π) + 1 = 0. Nesta fórmula, "e" é a base do logaritmo natural, "i" é a unidade imaginária (onde i² = -1) e "π" é a constante matemática pi, que representa a relação entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro.
A identidade é considerada notável porque combina de forma elegante e concisa estes elementos aparentemente desconexos da matemática numa única fórmula. Tem aplicações em várias áreas da matemática e da física, incluindo análise complexa, teoria dos números, topologia, mecânica quântica e processamento de sinais.
A transformação de Fourier
A transformação de Fourier é uma técnica matemática fundamental utilizada para decompor uma função nas suas componentes de frequência. Como recorta o tempo em várias frequências e ondas simples, permite analisar um sinal complexo no domínio do tempo e decompor esse sinal nas suas diferentes frequências.
Recebeu o seu nome em homenagem ao matemático francês Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desenvolveu a teoria no início do século XIX. A transformação de Fourier converte uma função do domínio do tempo (f(t)) na sua representação no domínio da frequência (F(ω)). É realizada com a fórmula: F(ω) = ∫ f(t) * e^(-iωt) dt. Nesta fórmula, ω representa a frequência angular, t é o tempo, i é a unidade imaginária e e é a base dos logaritmos naturais.
Esta teoria decompõe uma função numa série de componentes senoidais de diferentes frequências, cada uma com uma amplitude e uma fase específicas. Estas componentes fornecem informações sobre as diferentes frequências presentes no sinal original. Também permite reconstruir uma função no domínio do tempo a partir da sua representação no domínio da frequência.
A transformação de Fourier tem sido uma ferramenta essencial em muitos campos científicos e tecnológicos, possibilitando a análise e a síntese de sinais complexos e desempenhando um papel fundamental na compreensão e manipulação de fenômenos ondulatórios. Pode ser aplicada a qualquer função periódica ou não periódica e é amplamente utilizada em áreas como compressão de dados, análise de espectro, engenharia de telecomunicações, processamento de imagens e muitas outras.
As equações de Maxwell
As equações de Maxwell são um conjunto de equações fundamentais de eletromagnetismo que descrevem como interagem as cargas elétricas, as correntes de energia e os campos magnéticos.
Formuladas pelo físico escocês James Clerk Maxwell no século XIX, são as leis essenciais e fundamentais da física de hoje. São compostas por quatro equações diferenciais parciais, que relacionam as grandezas físicas envolvidas:
- Lei de Gauss para o campo elétrico: relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica contida dentro dessa superfície;
- Lei de Gauss para o campo magnético: descreve a ausência de polos magnéticos, afirmando que o fluxo do campo magnético através de qualquer superfície fechada é sempre zero;
- Lei de Faraday: expressa que a variação do campo magnético no tempo gera um campo elétrico induzido num circuito;
- Lei de Ampère: descreve a relação entre um campo magnético estacionário e uma corrente elétrica;
Além disso, fornecem a base teórica para a compreensão de fenómenos eletromagnéticos, como a propagação da luz, a geração e a propagação de ondas eletromagnéticas, e o funcionamento de dispositivos eletromagnéticos.
Como tal, são fundamentais na teoria eletromagnética e têm aplicações em diversas áreas, incluindo a engenharia elétrica, a comunicação sem fios, a ótica, a física de partículas e a astrofísica. Representam uma das conquistas mais importantes na história da física, fornecendo um dos pilares da física clássica e sendo um dos pilares da teoria eletromagnética moderna.
A segunda lei da termodinâmica
A segunda lei da termodinâmica prova de forma irrefutável que os fenômenos físicos são irreversíveis quando existem mudanças térmicas. É um princípio fundamental na física que descreve a direção preferencial das transformações termodinâmicas e estabelece limitações sobre a eficiência de processos e máquinas térmicas.
Este princípio foi redesenhado e reformulado várias vezes, mas a versão a mais conhecida é a formulada por Clausius e Kelvin. Enquanto a primeira lei da termodinâmica estabelece uma equivalência de formas de energia como o calor e o trabalho (princípio de conservação), a segunda lei introduz um outro sistema: a entropia.
A segunda lei da termodinâmica pode ser expressa de diferentes formas, mas uma das mais comuns é a seguinte: "Nenhum processo termodinâmico ocorre espontaneamente cujo único resultado seja a transferência de calor de um objeto mais frio para um objeto mais quente."
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Isto quer dizer que o calor flui naturalmente de uma região de maior temperatura para uma região de menor temperatura, e não o contrário. Ou seja, um sistema isolado tende a atingir um estado de equilíbrio térmico, onde não existe mais transferência de calor e todas as regiões têm a mesma temperatura.
Além disso, a segunda lei da termodinâmica estabelece que a entropia de um sistema isolado tende a aumentar com o tempo. A entropia é uma medida da desordem ou do número de estados possíveis de um sistema. Isto significa que os processos naturais tendem a levar a um aumento na desordem e dispersão de energia num sistema fechado.
Estabelece limitações fundamentais sobre a conversão de energia térmica em trabalho útil e é uma das leis mais fundamentais da física. Como tal, tem aplicações em várias áreas, incluindo a engenharia, a ciência dos materiais, a química e a biologia.
Lembre-se da lei da próxima vez que colocar um cubo de gelo numa bebida quente!
A equação de Schrödinger
Se tentássemos ilustrar o que é a matemática e a mecânica quântica, a equação de Schrödinger seria o exemplo perfeito. Tal como a teria da relatividade geral de Einstein explica o universo em grande escala, esta equação esclarece o comportamento dos átomos e das partículas subatômicas.
A equação de Schrödinger é fundamental na física quântica, uma vez que descreve a evolução temporal de uma onda associada a uma partícula ou sistema quântico. Formulada pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1925, descreve os estados dessas partículas precisamente no momento em que é possível descrever todos os seus estados.
A forma geral da equação depende do sistema em questão e das forças atuantes sobre a partícula. Mas pode ser escrita da seguinte forma: ĤΨ = EΨ. Aqui, Ĥ é o operador hamiltoniano, que representa a energia total do sistema, Ψ (da letra grega "psi") é a função de onda e E é a energia total do sistema.
Ao resolver a equação de Schrödinger para um determinado sistema, obtém-se uma série de soluções permitidas, chamadas de estados estacionários ou autoestados. Cada autoestado possui uma energia específica associada.
A interpretação dada pela equação é probabilística. A magnitude ao quadrado da função de onda, |Ψ|², fornece a densidade de probabilidade de encontrar a partícula numa determinada posição ou estado. É esta que descreve a natureza ondulatória da matéria e permite fazer previsões probabilísticas sobre as propriedades e comportamentos das partículas quânticas.
A equação tem amplas aplicações em várias áreas, incluindo a física de partículas, a química quântica, a ótica quântica e a nanotecnologia. Também desempenha um papel central na descrição do comportamento dos sistemas microscópicos.
Como podemos ver, ao longo do tempo e principalmente no século XVIII e XIX, as equações matemáticas souberam transformar o mundo em que vivemos. Elas servem-nos todos os dias no quotidiano, de forma mais ou menos direta.
Sabe o que é o gato de Schrödinger? Fique a conhecer este paradoxo!
Qual será a próxima inovação matemática? Quais são as novas revelações matemáticas que vão ainda mudar completamente a conceção de vida tal como a imaginamos?
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Muito bom trabalho